Probabilitas suatu peristiwa yang tidak dapat diukur

Kita tahu dari teori ukuran bahwa ada peristiwa yang tidak dapat diukur, yaitu mereka tidak bisa diukur. Apa yang kita sebut peristiwa dengan probabilitas bahwa ukuran probabilitas tidak didefinisikan? Apa jenis pernyataan yang akan kita buat tentang peristiwa semacam itu?

probability estimation

— schenectady
sumber

Ini tidak menghitung. Mungkin saya butuh kopi atau saya salah membaca ini. Ada perbedaan antara fungsi ukuran yang tidak didefinisikan dan satu set yang tidak dapat diukur. Jika pertanyaan terkait dengan fungsi, maka itu hanyalah titik di mana fungsi tidak terdefinisi. Itu tidak menghalangi kemungkinan fungsi yang didefinisikan dan merupakan ukuran probabilitas yang valid.

— Iterator

Jika Anda tidak dapat membuat perangkat non-Lebesgue-terukur tanpa aksioma pilihan, bagaimana Anda mengusulkan untuk mengetahui apakah peristiwa tertentu dengan probabilitas yang tidak dapat diukur telah terjadi atau tidak?

— Henry

@ Henry: OP mungkin merujuk hanya terminologi. Mengenai bagaimana saya bisa merujuk pada peristiwa semacam itu, saya harus memohon Infinite Improbability Drive Douglas Adams. Atau menyebutnya fenomena White Queen, karena ia bisa percaya 6 hal mustahil sebelum sarapan. :)

— Iterator

Seperti yang ditunjukkan oleh kardinal, set yang tidak terukur digunakan secara luas dalam teori probabilitas. Buku Konvergensi yang lemah dan proses empiris oleh van der Vaart, memberikan pengantar yang sangat bagus. Membaca buku ini membutuhkan latar belakang matematika yang cukup bagus, tetapi teori yang disajikan menurut saya sangat bagus.

— mpiktas

Apakah Anda hanya tertarik pada hasil yang melibatkan ukuran Lebesgue atau lebih umum dalam kerangka teori probabilitas? Tampaknya ada beberapa keraguan tentang ini di antara para peserta di sini.

— kardinal

Jawaban:

Seperti yang saya nyatakan dalam komentar bagaimana menangani jenis peristiwa ini (set yang tidak dapat diukur) dijelaskan dalam buku: Lemahnya proses konvergensi dan empiris oleh A. van der Vaart dan A. Wellner. Anda dapat menelusuri beberapa halaman pertama.

Solusi bagaimana menangani set ini cukup sederhana. Perkirakan mereka dengan set yang terukur. Jadi misalkan kita memiliki ruang probabilitas . Untuk set tentukan probabilitas luar (ada di halaman 6 dalam buku): $(\Omega,\mathcal{A},P)$ $B$

P^{*} (B) = inf {(P (SEBUAH), B \subset SEBUAH, SEBUAH \in SEBUAH}

$P^*(B)=\inf\{(P(A), B\subset A, A\in \mathcal{A}\}$

Ternyata Anda dapat membangun teori yang sangat bermanfaat dengan definisi semacam ini.

— mpiktas
sumber

Meskipun saya bukan ahli teori proses empiris, saya berpendapat bahwa penggunaan probabilitas luar tidak benar-benar didasarkan pada keinginan untuk menetapkan probabilitas ke set yang tidak terukur, tetapi karena Anda tidak ingin melalui kerumitan sebenarnya membuktikan terukur sepanjang waktu. Dan jika Anda dapat hidup tanpa hal-hal seperti teorema Fubini maka Anda pada dasarnya tidak kehilangan apa pun hanya dengan menghitung probabilitas luar.

— NRH

Sunting: Mengingat komentar kardinal: Semua yang saya katakan di bawah ini secara implisit tentang ukuran Lebesgue (ukuran lengkap). Membaca ulang pertanyaan Anda, sepertinya itu juga yang Anda tanyakan. Dalam kasus ukuran Borel umum, dimungkinkan untuk memperluas ukuran untuk memasukkan set Anda (sesuatu yang tidak mungkin dengan ukuran Lebesgue karena sudah sebesar mungkin).

Peluang kejadian seperti itu tidak akan ditentukan. Titik. Sama seperti fungsi bernilai nyata tidak didefinisikan untuk bilangan kompleks (tidak nyata), ukuran probabilitas didefinisikan pada himpunan terukur tetapi tidak pada himpunan tidak terukur.

Jadi pernyataan apa yang bisa kita buat tentang peristiwa semacam itu? Sebagai permulaan, acara seperti itu harus didefinisikan menggunakan aksioma pilihan. Ini berarti bahwa semua set yang dapat kita gambarkan dengan beberapa aturan dikecualikan. Yaitu, semua set yang secara umum kita minati tidak termasuk.

Tetapi tidak bisakah kita mengatakan sesuatu tentang kemungkinan peristiwa yang tidak dapat diukur? Menempatkan terikat padanya atau sesuatu? Paradoks Banach-Tarski menunjukkan bahwa ini tidak akan berhasil. Jika ukuran jumlah potongan terbatas yang Banach-Tarski menguraikan bola menjadi memiliki batas atas (katakanlah, ukuran bola), dengan membangun bola yang cukup kita akan mengalami kontradiksi. Dengan argumen yang sama mundur, kita melihat bahwa potongan tidak dapat memiliki batas bawah non-sepele.

Saya belum menunjukkan bahwa semua perangkat yang tidak dapat diukur memiliki masalah ini, walaupun saya percaya bahwa orang yang lebih pintar daripada yang seharusnya saya dapat menghasilkan argumen yang menunjukkan bahwa kita tidak dapat dengan cara apa pun secara konsisten menempatkan batasan non-sepele pada batasan "ukuran" "dari set yang tidak terukur (tantangan terhadap komunitas).

Singkatnya, kita tidak dapat membuat pernyataan tentang ukuran probabilitas set seperti itu, ini bukan akhir dunia karena semua set yang relevan dapat diukur.

— Har
sumber

Ini adalah jawaban yang menarik dan jawaban yang informatif. Tapi, Anda mungkin terlalu fokus pada pengukuran Lebesgue. Perangkat tak terukur jauh lebih lazim dalam teori probabilitas.

— kardinal

$\sigma$ $\sigma$ $\sigma$ $\sigma$ $\mathbb{R}$ $\sigma$

$\sigma$ $\sigma$

— NRH
sumber