Hampir yakin konvergensi tidak menyiratkan konvergensi lengkap

Kita katakan konvergen sepenuhnya ke jika untuk setiap . $X_1, X_2, \ldots$ $X$ $\epsilon>0$ $\sum_{n=1}^\infty \text{P}\left(|X_n-X|>\epsilon\right) <\infty$

Dengan Borel, Cantelli's lemma langsung membuktikan bahwa konvergensi lengkap menyiratkan konvergensi yang hampir pasti.

Saya mencari contoh yang hampir yakin konvergensi tidak dapat dibuktikan dengan Borel Cantelli. Ini adalah, urutan variabel acak yang menyatu hampir pasti tetapi tidak sepenuhnya.

probability convergence

— Manuel
sumber

Biarkan dengan Borel sigma-aljabar dan ukuran seragam . Menetapkan $\Omega=(0,1)$ $\mathfrak{F}$ $\mu$

X_{n} (ω) = 2 + (- 1)^{n} when ω \leq 1 / n

$X_n(\omega) = 2 + (-1)^n \text{ when } \omega \le 1/n$

dan sebaliknya. The jelas terukur pada ruang probabilitas . $X_n(\omega)=0$ $X_n$ $(\Omega, \mathfrak{F}, \mu)$

Angka

Untuk setiap dan semua adalah . Jadi, menurut definisi, urutan konvergen ke (bukan hanya hampir pasti!). $\omega\in\Omega$ $N \gt 1/\omega$ $X_n(\omega)=0$ $(X_n)$ $0$

Namun, setiap kali , , dari mana $0 \lt \epsilon \lt 1$ $\Pr(X_n\gt \epsilon) = \Pr(X_n \ne 0) = 1/n$

\sum_{n = 1}^{\infty} Pr (X_{n} > ϵ) = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n},

$\sum_{n=1}^\infty \Pr(X_n \gt \epsilon) = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n},$

yang menyimpang ke . $\infty$

— whuber
sumber

Terima kasih banyak!. Dua komentar, apakah ada alasan untuk mendefinisikan bukan ? kedua, apakah itu ?

X_{n} (ω) = 2 + (- 1)^{n} when ω \leq 1 / n

$X_n(\omega) = 2 + (-1)^n \text{ when } \omega \le 1/n$

X_{n} (ω) = 1 when ω \leq 1 / n

$X_n(\omega) = 1 \text{ when } \omega \le 1/n$

\sum Pr (X_{n} > ϵ)

$\sum\text{Pr}\left(X_n > \epsilon\right)$

— Manuel

1. Tidak ada alasan bagus. Sementara saya memikirkan hal ini, saya menggunakan istilah sebagai pengingat bahwa mungkin tidak ada konvergensi pada titik-titik seperti itu. 2. Saya tetap typo, terima kasih.

\pm 1

$\pm 1$

<

$\lt$

— whuber

Apakah independen? Mereka tampaknya bagi saya, yang oleh lemma Borel Cantelli Kedua akan menyiratkan konvergensi hampir tidak yakin.

X_{n}

$X_n$

— Rdrr

@Rdrr Maka Anda seharusnya tidak kesulitan menunjukkan tidak independen.

X_{n}

$X_n$

— whuber