Berapa minimum atas semua distribusi unimodal kontinu pada interval terbatas ?

Semua distribusi pada interval terbatas memenuhi: $[0,1]$

σ^{2} \leq μ (1 - μ)

$\sigma^2 \le \mu (1-\mu)$

di mana adalah mean dan varians. $\mu$ $\sigma^2$

Sekarang anggaplah bahwa distribusi adalah unimodal, dalam arti bahwa ia memiliki paling banyak satu lokal maksimum. Berapa nilai minimum yang dapat dimiliki rasio berikut:

\frac{μ (1 - μ)}{σ^{2}} ?

$\frac{\mu (1-\mu)}{\sigma^2}?$

variance

— becko
sumber

... persamaan pertama Anda menyiratkan bahwa rasio tidak boleh lebih kecil dari 1. Apakah Anda bertanya distribusi apa yang membuatnya sama dengan 1?

— user603

Lihatlah Bernoulli dengan . Ini cukup khas untuk solusi dari jenis masalah ekstrem ini menjadi diskrit dan hanya pada beberapa poin. Anda tampaknya telah membuat beberapa posting seperti "buku buku". Apakah ada yang berhasil untuk suatu subjek?

(p)

$(p)$

μ = p

$\mu=p$

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b Namun, pertanyaannya meminta distribusi unimodal, yang bukan versi Bernoulli yang tercoreng menjadi berkelanjutan.

— Dougal

Distribusi seragam pada memberikan nilai 3. Distribusi beta memberi dan hanya unimodal jika , , demikian juga 3 (ketika itu juga seragam). Saya mencoba beberapa keluarga distribusi bernama lainnya ( dari sini ) dan tidak pernah mendapat nilai yang lebih baik dari 3. Saya juga mulai menulisnya sebagai masalah optimisasi dengan melakukan interpolasi linier di antara titik-titik, tetapi itu tampak seperti masalah optimasi yang sulit, dan saya berhenti sebelum benar-benar coding dan mencobanya.

[0, 1]

$[0, 1]$

α + β + 1

$\alpha + \beta + 1$

α > 1

$\alpha > 1$

β > 1

$\beta > 1$

— Dougal

Ditanyakan secara bersamaan di math.SE di mana ia telah menerima dua jawaban (salah satunya telah dihapus oleh penulis jawaban karena kekasaran yang dirasakan OP).

— Dilip Sarwate

Minimal tidak ada. Namun, sebuah infinite tidak. Ini mengikuti dari fakta itu

Supremum varian dari distribusi unimodal yang didefinisikan pada memiliki rata-rata adalah ( ) atau ( ). $[0,1]$ $\mu$ $\mu(2 - 3\mu)/3$ $0 \le \mu \le 1/2$ $(1-\mu)(3\mu-1)/3$ $1/2\le \mu \le 1$

Supremum sebenarnya diperoleh dengan distribusi yang - meskipun tidak memiliki fungsi kepadatan - masih dapat (dalam arti umum) dianggap sebagai "unimodal"; ia akan memiliki atom pada (ketika ) atau atom pada (ketika ) tetapi seragam. $0$ $\mu \lt 1/2$ $1$ $\mu \gt 1/2$

Saya akan membuat sketsa argumen. Pertanyaannya meminta kita untuk mengoptimalkan fungsional linier

L_{x^{2}} : D [0, 1] \to R

$\mathcal{L_{x^2}}: D[0,1] \to \mathbb{R}$

tunduk pada berbagai kendala kesetaraan dan ketidaksetaraan, di mana adalah himpunan langkah-langkah (ditandatangani) pada interval . Untuk dibedakan dan fungsi kontinu, tentukan $D[0,1]$ $[0,1]$ $F:[0,1]\to\mathbb{R}$ $g:[0,1]\to\mathbb{R}$

L_{g} [F] = \int_{0}^{1} g (x) d F (x),

$\mathcal{L}_g[F] = \int_0^1 g(x) dF(x),$

dan ke semua dengan kontinuitas. $\mathcal{L}$ $D[0,1]$

Kendala kesetaraan adalah

L_{1} [F] = 1

$\mathcal{L}_1[F] = 1$

dan

L_{x} [F] = μ .

$\mathcal{L}_x[F] = \mu.$

Kendala ketimpangan adalah itu

f (x) \geq 0

$f(x) \ge 0$

dan ada ("mode") sedemikian rupa sehingga untuk semua dan semua , $\lambda \in [0,1]$ $0\le x \le y \le \lambda$ $\lambda \le y \le x \le 1$

f (x) \leq f (y) .

$f(x) \le f(y).$

Batasan ini menentukan domain cembung di mana harus dioptimalkan. $\mathcal{X}\subset D[0,1]$ $\mathcal{L}_{x^2}$

Seperti halnya program linear dalam ruang dimensi terbatas, ekstrem dari akan diperoleh pada simpul dari . Ini jelas adalah ukuran, benar-benar kontinu berkenaan dengan ukuran Lebesgue, yang sebagian konstan , karena simpul adalah di mana hampir semua ketidaksetaraan menjadi persamaan: dan sebagian besar ketidaksetaraan tersebut dikaitkan dengan unimodality (perilaku ekor yang tidak meningkat) . $\mathcal{L}_g$ $\mathcal{X}$ $F$

Untuk memenuhi dua batasan kesetaraan, kita hanya perlu membuat satu break pada grafik , misalnya di angka . Membiarkan nilai konstan pada interval menjadi dan nilai konstan pada menjadi , perhitungan yang mudah berdasarkan pada hasil kendala kesetaraan $f$ $0\lt \lambda \lt 1$ $[0,\lambda)$ $a$ $(\lambda, 1]$ $b$

a = \frac{1 + λ - 2 μ}{λ}, b = \frac{2 μ - λ}{1 - λ} .

$a = \frac{1+\lambda-2\mu}{\lambda},\ b = \frac{2\mu-\lambda}{1-\lambda}.$

$Gambar 1: Plot tipikal $ f _ {(\ lambda, \ mu)} $.$

Angka ini mengatakan semuanya: ini menggambarkan fungsi distribusi konstan lokal rata-rata dengan paling banyak satu break di . (Alur untuk terlihat seperti pembalikan dari yang ini.) $\mu$ $\lambda$ $f_{(\lambda,\mu)}$ $\mu \gt 1/2$

Nilai pada ukuran seperti itu (yang akan saya nyatakan , kepadatan distribusi ) adalah sama siap dihitung menjadi $\mathcal{L}_{x^2}$ $f_{(\lambda, \mu)}$ $F_{(\lambda, \mu)}$

L_{x^{2}} [f_{(λ, μ)}] = \frac{1}{3} (2 μ + (2 μ - 1) λ) .

$\mathcal{L}_{x^2}[f_{(\lambda, \mu)}] = \frac{1}{3}\left(2\mu + (2\mu - 1)\lambda\right).$

Ungkapan ini linear dalam , menyiratkan dimaksimalkan pada (ketika ), (ketika ), atau pada nilai apa pun (ketika ) . Namun, kecuali ketika , nilai pembatas dari tindakan tidak lagi bersambung: distribusi yang sesuai atau memiliki diskontinuitas melompat pada atau (tetapi tidak keduanya). $\lambda$ $0$ $\mu \lt 1/2$ $1$ $\mu \gt 1/2$ $\mu = 1/2$ $\mu=1/2$ $f_{(\lambda, \mu)}$ $F = \lim_{\lambda\to 0} F_{(\lambda, \mu)}$ $F = \lim_{\lambda\to 1} F_{(\lambda, \mu)}$ $0$ $1$

$Gambar 2: Plot $ F $ optimal untuk $ \ mu = 2/5 $.$

Gambar ini grafik optimal untuk rata-rata . $F$ $\mu \approx 2/5$

Apapun, nilai optimalnya adalah

σ_{μ}^{2} = sup_{λ} L_{x^{2}} [f_{(λ, μ)}] = \frac{1}{3} μ (2 - 3 μ) .

$\sigma^2_\mu = \sup_\lambda \mathcal{L}_{x^2}[f_{(\lambda, \mu)}] = \frac{1}{3}\mu(2 - 3\mu).$

Konsekuensinya, nilai maksimum dari untuk adalah $\mu(1-\mu)/\sigma^2$ $0\le \mu \lt 1/2$

μ (1 - μ) / σ_{μ}^{2} = \frac{3 - 3 μ}{2 - 3 μ},

$\mu(1-\mu)/\sigma^2_\mu = \frac{3-3\mu}{2-3\mu},$

dengan ekspresi yang sebanding ketika (diperoleh dengan mengganti dengan ). $1/2\lt \mu \le 1$ $\mu$ $1-\mu$

$Gambar 3: Plot infimum versus $ \ mu $.$

Angka ini memplot supremum versus . $\mu(1-\mu)/\sigma^2_\mu$ $\mu$

— whuber
sumber

Saya pikir ini adalah jawaban yang indah. Apakah ini didasarkan pada buku teks, atau kertas? Apakah ada referensi dengan hasil lebih banyak seperti ini?

— becko

@becko Terima kasih. Saya berharap bisa membantu, tetapi ini adalah solusi asli. Saya tidak yakin di mana orang akan mulai mencari hasil lainnya, karena saya bukan spesialis dalam ketidaksetaraan distribusi.

— Whuber