Jika adalah beta independen maka tunjukkan juga beta

Ini adalah masalah yang muncul dalam ujian semester di universitas kami beberapa tahun yang lalu yang saya perjuangkan untuk diselesaikan.

Jika adalah independen acak dengan kepadatan dan masing-masing kemudian menunjukkan bahwa mengikuti . $X_1,X_2$ $\beta$ $\beta(n_1,n_2)$ $\beta(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)$ $\sqrt{X_1X_2}$ $\beta(2n_1,2n_2)$

Saya menggunakan metode Jacobian untuk mendapatkan bahwa kepadatan adalah sebagai berikut: $Y=\sqrt{X_1X_2}$

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y}^{1} \frac{1}{x^{2}} (1 - x^{2})^{n_{2} - 1} (1 - \frac{y^{2}}{x^{2}})^{n_{2} - 1} d x

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_y^1\dfrac{1}{x^2}(1-x^2)^{n_2-1}(1-\dfrac{y^2}{x^2})^{n_2-1}dx$

Sebenarnya saya tersesat pada titik ini. Sekarang, di koran utama, saya menemukan petunjuk telah disediakan. Saya mencoba menggunakan petunjuk tetapi tidak dapat memperoleh ekspresi yang diinginkan. Petunjuknya adalah kata demi kata sebagai berikut:

Petunjuk: Turunkan rumus untuk kepadatan dalam kaitan dengan kepadatan yang diberikan dan dan cobalah untuk menggunakan perubahan variabel dengan . $Y=\sqrt{X_1X_2}$ $X_1$ $X_2$ $z=\dfrac{y^2}{x}$

Jadi pada titik ini, saya mencoba menggunakan petunjuk ini dengan mempertimbangkan perubahan variabel ini. Karenanya saya dapatkan, yang setelah penyederhanaan ternyata (menulis untuk )

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y^{2}}^{y} \frac{z^{2}}{y^{4}} (1 - \frac{y^{4}}{z^{2}})^{n_{2} - 1} (1 - y^{2} . \frac{z^{2}}{y^{4}})^{n_{2} - 1} \frac{y^{2}}{z^{2}} d z

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{z^2}{y^4}(1-\dfrac{y^4}{z^2})^{n_2-1}(1-y^2.\dfrac{z^2}{y^4})^{n_2-1}\dfrac{y^2}{z^2}dz$

x

$x$

z

$z$

f_{Y} (y) = \frac{4 y^{2 n_{1}}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int_{y^{2}}^{y} \frac{1}{y^{2}} (1 - \frac{y^{4}}{x^{2}})^{n_{2} - 1} (1 - \frac{x^{2}}{y^{2}})^{n_{2} - 1} d x

$f_Y(y)=\dfrac{4y^{2n_1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+\dfrac{1}{2},n_2)}\int_{y^2}^y\dfrac{1}{y^2}(1-\dfrac{y^4}{x^2})^{n_2-1}(1-\dfrac{x^2}{y^2})^{n_2-1}dx$

Saya tidak benar-benar tahu bagaimana melanjutkan. Saya bahkan tidak yakin bahwa saya menafsirkan petunjuk dengan benar. Bagaimanapun, ini dia petunjuk selanjutnya:

Perhatikan bahwa dengan menggunakan perubahan variabel , kepadatan yang dibutuhkan dapat diekspresikan dalam dua cara untuk mendapatkan dengan rata-rata Sekarang bagilah rentang integrasi menjadi dan dan tulis dan lanjutkan dengan . $z=\dfrac{y^2}{x}$
$f_{Y} (y) = c o n s t a n t . y^{2 n_{1} - 1} \int_{y^{2}}^{1} (1 - \frac{y^{2}}{x})^{n_{2} - 1} (1 - x)^{n_{2} - 1} (1 + \frac{y}{x}) \frac{1}{\sqrt{x}} d x$ $f_Y(y)=constant.y^{2n_1-1}\int_{y^2}^1(1-\dfrac{y^2}{x})^{n_2-1}(1-x)^{n_2-1}(1+\dfrac{y}{x})\dfrac{1}{\sqrt{x}}dx$ $(y^2,y)$ $(y,1)$ $(1-\dfrac{y^2}{x})(1-x)=(1-y)^2-(\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x})^2$ $u=\dfrac{y}{\sqrt{x}}-\sqrt{x}$

Yah, jujur, saya tidak bisa mengerti bagaimana seseorang dapat menggunakan petunjuk ini: sepertinya saya tidak mendapatkan apa-apa. Bantuan dihargai. Terima kasih sebelumnya.

— Landon Carter
sumber

Saya telah melihat masalah serupa sebelumnya yang telah saya kumpulkan beberapa referensi. Lihat arxiv.org/pdf/1304.6671v1.pdf mathoverflow.net/questions/32782/…

— Sid

@ Maaf Maaf tapi saya tidak dapat menemukan masalah ini di referensi tersebut atau yang serupa. Bisakah Anda menunjukkan tempat dengan baik? Terima kasih!!

— Landon Carter

Apakah Anda yakin menerapkan metode Jacobian dengan benar? Jika saya melakukannya, saya mendapatkan: Saya pikir Anda juga akan membutuhkan penggandaan rumus , lihat en.wikipedia.org/wiki/Gamma_function

f_{Y} (y) = \frac{2 y^{2 n_{1} - 1}}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + 0.5, n_{2})} \int_{y^{2}}^{1} \frac{1}{\sqrt{x}} [(1 - \frac{y^{2}}{x}) (1 - x)]^{n_{1} - 1} d x

$f_Y(y) = \frac{2 y^{2n_1-1}}{B(n_1,n_2)B(n_1+0.5,n_2)} \int_{y^2}^1 \frac{1}{\sqrt{x}} [(1-\frac{y^2}{x})(1-x)]^{n_1-1} dx$

Γ (z) Γ (z + 0.5) = 2^{1 - 2 z} \sqrt{π} Γ (2 z)

$\Gamma(z)\Gamma(z+0.5)=2^{1-2z}\sqrt{\pi}\Gamma(2z)$

— StijnDeVuyst

Rupanya formula itu sama. Mungkin Anda harus menggunakan perubahan variabel dalam rumus Anda untuk mendapatkan milik saya. Saya berbicara tentang Jacobian.

z = \sqrt{x}

$z=\sqrt{x}$

— Landon Carter

Saya tidak berpikir mereka sama. Melakukan perubahan variabel yang Anda sebutkan ke dalam rumus saya, saya mendapatkan sesuatu yang sedikit lebih sederhana daripada apa yang Anda miliki di integral pertama OP Anda.

— StijnDeVuyst

Saya akan membuktikan ini dengan cara yang berbeda, menggunakan fungsi yang menghasilkan momen. Atau ekuivalen, dengan menunjukkan bahwa th saat adalah sama dengan th saat variabel acak dengan distribusi. Jika demikian untuk semua , maka dengan kekuatan masalah saat ini, latihan terbukti. $q$ $\sqrt{X_1X_2}$ $q$ $B$ $\beta(2n_1,2n_2)$ $q=1,2,\ldots$

Untuk bagian terakhir, kita memperoleh dari http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution#Other_moments bahwa th saat adalah Sekarang untuk bagian pertama: $q$ $B$

E [B^{q}] = \prod_{j = 0}^{q - 1} \frac{2 n_{1} + j}{2 n_{1} + 2 n_{2} + j} = \dots = \frac{Γ (2 n_{1} + q) Γ (2 n_{1} + 2 n_{2})}{Γ (2 n_{1}) Γ (2 n_{1} + 2 n_{2} + q)}

$\mathrm{E}[B^q] = \prod_{j=0}^{q-1} \frac{2n_1+j}{2n_1+2n_2+j} = \ldots = \frac{\Gamma(2n_1+q)\Gamma(2n_1+2n_2)}{\Gamma(2n_1)\Gamma(2n_1+2n_2+q)}$

E [(\sqrt{X_{1} X_{2}})^{q}] = \int \int (\sqrt{x_{1} x_{2}})^{q} f_{X_{1}} (x_{1}) f_{X_{2}} (x_{2}) d x_{1} d x_{2} = \int x^{q / 2} f_{X_{1}} (x_{1}) d x_{1} \cdot \int x_{2}^{q / 2} f_{X_{2}} (x_{2}) d x_{2} = \frac{1}{B (n_{1}, n_{2})} \int x_{1}^{n_{1} + q / 2 - 1} (1 - x_{1})^{n_{2} - 1} d x_{1} \cdot \frac{1}{B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})} \int x_{2}^{n_{1} + \frac{q + 1}{2} - 1} (1 - x_{2})^{n_{2} - 1} d x_{2} = \frac{B (n_{1} + \frac{q}{2}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{q + 1}{2}, n_{2})}{B (n_{1}, n_{2}) B (n_{1} + \frac{1}{2}, n_{2})}

$\mathrm{E}[(\sqrt{X_1X_2})^q] = \int\int (\sqrt{x_1x_2})^q f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(x_2) dx_1dx_2 \\ = \int x^{q/2} f_{X_1}(x_1) d x_1 \cdot \int x_2^{q/2} f_{X_2}(x_2) d x_2\\ = \frac{1}{B(n_1,n_2)} \int x_1^{n_1+q/2-1}(1-x_1)^{n_2-1}dx_1 \cdot \frac{1}{B(n_1+\frac{1}{2},n_2)} \int x_2^{n_1+\frac{q+1}{2}-1}(1-x_2)^{n_2-1}dx_2\\ = \frac{B(n_1+\frac{q}{2},n_2)B(n_1+\frac{q+1}{2},n_2)}{B(n_1,n_2)B(n_1+\frac{1}{2},n_2)}$ Sekarang yang tersisa adalah menerapkan definisi dan kemudian rumus pengganda . Kemudian ternyata bagian pertama dan kedua persis sama.

B (α, β) = \frac{Γ (α) Γ (β)}{Γ (α + β)}

$B(\alpha,\beta)=\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}{\Gamma(\alpha+\beta)}$

Γ (α) Γ (α + \frac{1}{2}) = 2^{1 - 2 α} \sqrt{π} Γ (2 α)

$\Gamma(\alpha)\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})=2^{1-2\alpha}\sqrt{\pi}\Gamma(2\alpha)$

— StijnDeVuyst
sumber

Saya tidak berpikir Anda dapat mengatakan bahwa persamaan momen menyiratkan persamaan distribusi. Ada contoh di mana ini mungkin tidak berlaku.

— Landon Carter

StijnDeVuyst, maaf ini bukan jawaban yang bisa diterima. Saya punya contoh di mana momennya sama tetapi distribusinya tidak sama. Contohnya agak rumit. Sayangnya saya tidak memiliki contoh dengan saya sekarang; itu juga datang dalam satu ujian semester. Tetapi segera saya akan memposting contoh di utas ini jika Anda tertarik. Pokoknya saya sudah menyelesaikan sendiri masalahnya. Terima kasih atas bantuan Anda.

— Landon Carter

@yedaynara dan Stijn: A (the?) contoh klasik adalah karena Heyde: Pertimbangkan pdf mana adalah pdf dari lognormal standar dan . Semua anggota keluarga distribusi ini memiliki momen yang sama (dari semua pesanan). Perhatikan bahwa lognormal standar adalah anggota keluarga ini dan momen-momennya memiliki bentuk tertutup yang bagus.

f_{b} (x) = f_{0} (x) (1 + b \sin (2 π \log x))

$f_b(x) = f_0(x)(1+b \sin(2\pi\log x))$

f_{0}

$f_0$

b \in [- 1, 1]

$b \in [-1,1]$

— kardinal

Namun, ada kondisi tambahan (mis., Carleman) pada saat-saat yang akan menjamin keunikan distribusi. Ini dikenal sebagai masalah momen Hamburger .

— kardinal

Kutipan dari web.williams.edu/Mathematics/sjmiller/public_html/book/papers/… "... Ini adalah aljabar linier elementer untuk memverifikasi bahwa ukuran positif dengan dukungan terbatas ditentukan secara unik pada saat-saat ..." Itu mengatur Kondisi Carleman untuk determinasi-M untuk distribusi Beta di OP. @ cardinal dan yedaynara keduanya benar bahwa saya terlalu cepat untuk menganggap ini. Namun ternyata dukungan yang terbatas itulah yang menyelamatkan hari itu.

— StijnDeVuyst