PDF dari sejumlah variabel dependen

8

Ini adalah kelanjutan langsung dari pertanyaan terakhir saya . Hal yang sebenarnya ingin saya dapatkan adalah distribusi , di mana seragam dalam . Sekarang, distribusi berhasil dihitung di utas yang disebutkan , dan sebut saja . Distribusi hanyalah . Langkah terakhir adalah menghitung distribusi jumlah dan dengan cara yang mirip dengan yang sebelumnya , tetapi dan $a+d+\sqrt{(a-d)^2+4bc}$ $a,b,c,d$ $[0,1]$ $(a-d)^2+4bc$ $h(x)$ $\sqrt{(a-d)^2+4bc}$ $h(x^2)\cdot 2x$ $X=a+d$ $Y=\sqrt{(a-d)^2+4bc}$ $X$ $Y$ tidak mandiri, dan sekarang saya terjebak dan bahkan tidak tahu harus mulai dari mana.

Mungkin berguna untuk mencatat bahwa dan pada komponen terakhir komponen di bawah root (yaitu, dan ) mudah untuk dihitung. Kemudian, saya tertarik pada distribusi , mengetahui distribusi dan . $\sqrt{(a-d)^2+4bc}=\sqrt{(a+d)^2-4(ad-bc)}$ $X^2=(a+d)^2$ $W=-4(ad-bc)$ $X+\sqrt{X^2+W}$ $X$ $\sqrt{X^2+W}$

Saya tidak melihat perubahan variabel yang berguna. Saya berpikir tentang menggunakan probabilitas bersyarat, tetapi bagaimana saya bisa menemukan ? Saya mungkin terlalu maju dan mungkin harus mundur beberapa langkah. $f(\sqrt{X^2+W}\Big|X)$

Apakah mungkin menghitung sesuatu seperti ini?

Distribusi yang dihasilkan akan terlihat seperti ini: masukkan deskripsi gambar di sini

EDIT: Jawaban yang diterima memberikan solusi yang saya cari, namun, saya masih penasaran bagaimana mendapatkannya secara analitis. Maksud saya, dalam pertanyaan saya sebelumnya CDF diberikan sebagai satu kesatuan:

$\int_0^4 F(\delta-y)g(y)dy$

dengan dan diberikan oleh fungsi sederhana. Secara teoritis, itu bisa diintegrasikan menggunakan pena dan kertas. Tentu saja menggunakan perangkat lunak itu wajar. Namun, saya masih penasaran bagaimana memberikan jawaban dalam bentuk tertutup di sini. serigala menjawab dering bel, tapi ... Konvolusi dari tiga pdf dari fungsi yang (relatif) rumit seperti itu? $F$ $g$

— corey979
sumber

7

Temukan pdf dari: $\quad A+D+\sqrt{(A-D)^2+4BC}, \quad$ dimana $A,B,C,D$ apakah iid $Uniform(0,1)$

Membiarkan $U = 4 BC$ dimana $U$ memiliki pdf: $\quad g(u) = \frac{1}{4} \log \left(\frac{4}{u}\right) \quad \text{for } 0<u<4$ .

Ini mengurangi masalah dari 4 menjadi 3 variabel acak independen. Kemudian, dengan kemerdekaan, pdf gabungan dari $(A,D,U)$ adalah $f(a,d,u)$ :

Membiarkan $Z = A+D+\sqrt{(A-D)^2+4BC}$ . Cdf dari $Z$ adalah $P(Z<z)$ :

di mana saya menggunakan Probfungsi dari paket mathStatica untuk Mathematica untuk mengotomatiskan seluk-beluknya.

PDF dari $Z$ hanyalah turunan dari wrt yang terakhir $z$ , yang menghasilkan solusi:

Semua selesai.

Berikut adalah plot pdf teoritis yang tepat dari $Z$ :

Monte Carlo periksa

Diagram berikut membandingkan perkiraan Monte Carlo empiris dari pdf (berlekuk biru) ke pdf teoritis yang diturunkan di atas (red putus-putus). Terlihat baik.

— serigala
sumber

1

Rapi! Meskipun saya tidak memiliki mathStatica, saya berhasil melakukannya secara langsung di Mathematica. Ini menjawab pertanyaan saya agak penuh, tapi saya masih penasaran bagaimana melakukannya tanpa komputer, dengan cara yang mirip dengan pertanyaan saya sebelumnya. Di sana, whuber memberikan integral secara eksplisit dan teoritis yang dapat dihitung menggunakan pena dan kertas. Tentu saja menggunakan perangkat lunak itu wajar, tetapi bagaimana saya harus melanjutkan dalam kasus saat ini?

— corey979

2

Abramowitz dan Stegun? ;)

— serigala

1

Nah, Anda tahu integral yang perlu dievaluasi, jadi itu hanya masalah mengevaluasi mereka. Pada hari-hari sebelum kami memiliki sistem aljabar komputer, ketika dihadapkan dengan tugas-tugas integrasi yang tidak menyenangkan dan rumit di luar biasa, orang biasanya menuju ke tabel integral seperti Abramowitz dan Stegun.

— serigala

3

Tepat setelah membaca jawaban serigala, saya mengerti bahwa saya dapat menghitung distribusi akhir dari awal tanpa semua langkah tengah:

M[x_] := M[x] = Evaluate@FullSimplify@ Integrate[ Boole[a + d + Sqrt[(a - d)^2 + 4 b c] <= x], {a, 0, 1}, {b, 0, 1}, {c, 0, 1}, {d, 0, 1}] memberikan CDF dan

m[x_] := m[x] = Evaluate@FullSimplify@D[M[x], x] memberikan PDF yang berfungsi sempurna dengan simulasi saya:

masukkan deskripsi gambar di sini

Ini menggunakan pendekatan jawaban untuk pertanyaan saya sebelumnya.

— corey979
sumber

Ya - itu bekerja dengan baik di sini. Tapi yang menarik, itu TIDAK berfungsi untuk masalah asli Anda (lebih sederhana). Yaitu, Integrate[ Boole[(a-d)^2 + 4 b c < x], {a,0,1}, {b,0,1}, {c,0,1}, {d,0,1}]mengembalikan integral yang tidak dievaluasi.

— serigala