Kombinasi linear dua non-normals acak yang masih merupakan anggota keluarga yang sama

Telah diketahui bahwa kombinasi linear dari 2 variabel normal acak juga merupakan variabel normal acak. Adakah keluarga distribusi tidak normal yang umum (mis., Weibull) yang juga berbagi properti ini? Tampaknya ada banyak contoh tandingan. Misalnya, kombinasi linear seragam biasanya tidak seragam. Secara khusus, apakah ada keluarga distribusi tidak normal di mana kedua hal berikut ini benar:

Kombinasi linear dari dua variabel acak dari keluarga itu setara dengan beberapa distribusi dalam keluarga itu.
Parameter yang dihasilkan dapat diidentifikasi sebagai fungsi dari parameter asli dan konstanta dalam kombinasi linier.

Saya terutama tertarik pada kombinasi linier ini:

$Y = X_1 \cdot w + X_2 \cdot \sqrt{(1-w^2)}$

di mana dan disampel dari beberapa keluarga yang tidak normal, dengan parameter dan , dan berasal dari keluarga tidak normal yang sama dengan parameter . $X_1$ $X_2$ $\theta_1$ $\theta_2$ $Y$ $\theta_Y = f(\theta_1, \theta_2, w)$

Saya menggambarkan keluarga distribusi dengan 1 parameter untuk kesederhanaan, tapi saya terbuka untuk keluarga distribusi dengan beberapa parameter.

Saya juga mencari contoh di mana ada banyak ruang parameter pada dan untuk bekerja dengan tujuan simulasi. Jika Anda hanya dapat menemukan contoh yang berfungsi untuk beberapa dan yang sangat spesifik , itu akan kurang membantu. $\theta_1$ $\theta_2$ $\theta_1$ $\theta_2$

distributions linear

— Anthony
sumber

Terima kasih. Saya benar-benar mencari keluarga umum yang tidak normal (mis., Weibull). Saya juga akan mencoba mengklarifikasi bahwa parameter yang dihasilkan harus fungsi dari parameter asli untuk berbagai parameter asli. Artinya, harus ada banyak ruang parameter untuk bekerja dengan tujuan simulasi.

— Anthony

Dengan asumsi kita berbicara tentang sewenang-wenang kombinasi linear dari independen variabel acak, ada yang (Retribusi) stabil distribusi . Seluruh kelas distribusi tersebut sepenuhnya ditandai oleh fungsi karakteristiknya yang mengambil bentuk tertentu. Hanya sedikit yang memiliki kepadatan dengan ekspresi bentuk tertutup yang diketahui.

— kardinal

Alpha-stables yang disebutkan oleh @ cardinal adalah jawaban, dan jika saya mengerti dengan benar, satu-satunya jawaban jika parameter harus lokasi dan skala, tetapi apakah ada jawaban lain jika parameter tidak perlu lokasi + skala? (Meskipun ini mungkin sangat jauh dari apa yang diinginkan OP sehingga ini harus menjadi pertanyaan terpisah).

— Juho Kokkala

Saya tertarik pada jawaban meskipun parameternya bukan lokasi dan skala.

— Anthony

@ Juho saya yakin jawabannya secara umum adalah ya. Jumlah distribusi sesuai dengan jumlah (secara pointpoint) dari fungsi pembangkit kumulans (didefinisikan sebagai logaritma dari fungsi karakteristik), sehingga penutupan satu set distribusi di bawah penjumlahan terkandung secara alami dalam himpunan semua distribusi yang merupakan kombinasi linear (nyata) dari cgf itu.

— whuber

Jawaban:

Distribusi normal memenuhi identitas konvolusi yang bagus: . Jika Anda merujuk pada teorema batas pusat, maka misalnya, distribusi gamma dengan koefisien bentuk yang sama akan berbagi properti itu dan berbelok menjadi distribusi gamma. Silakan lihat Catatan peringatan tentang permohonan teorema batas pusat . Namun, secara umum, dengan koefisien bentuk yang tidak sama, distribusi gamma akan "ditambahkan" oleh konvolusi yang tidak akan menjadi distribusi gamma melainkan fungsi gamma yang mengalikan fungsi hypergeometrik jenis pertama seperti yang ditemukan pada Persamaan. (2) dari $X_1\sim N\left[\mu _1,\sigma _1^2\right],X_2\sim N\left[\mu _2,\sigma _2^2\right]\Longrightarrow X_1+X_2\sim N\left[\mu _1+\mu _2,\sigma _1^2+\sigma _2^2\right]$ konvolusi dari dua distribusi gamma . Definisi lain dari penambahan, yaitu membentuk distribusi campuran dari proses yang tidak berhubungan tidak perlu menunjukkan batas pusat, misalnya, jika sarana berbeda.

Mungkin ada contoh lain, saya belum melakukan pencarian lengkap. Penutupan untuk belit tampaknya tidak terlalu jauh. Untuk kombinasi linier, produk Pearson VII dengan Pearson VII adalah Pearson VII lainnya .

— Carl
sumber

Anda dapat menambahkan variabel acak Gammas independen dengan parameter skala yang sama dan mendapatkan gamma lain dengan parameter skala yang sama, tetapi Anda tidak dapat mengambil kombinasi linear sewenang-wenang. Ada sejumlah distribusi terkenal yang dapat Anda ambil jumlah tetapi bukan kombinasi linear sembarang dan tetap berada dalam keluarga itu. (Sudah ada jawaban yang dihapus di sini yang membuat kesalahan yang sama)

— Glen_b -Reinstate Monica

Memang benar bahwa konvolusi dari dua distribusi gamma , lihat Persamaan. 2, menghasilkan sesuatu selain distribusi gamma, jika itu yang Anda maksud.

— Carl

Artikel itu dengan jelas menyatakan bahwa kombinasi linear dari gammas bukanlah gamma (selain dari pengecualian yang sama yang telah saya sebutkan sebelumnya) dan tampak sepenuhnya konsisten dengan apa yang saya katakan. Saya tidak yakin dengan apa yang Anda tanyakan kepada saya, tetapi artikel tersebut mendukung klaim saya bahwa jawaban Anda tampaknya menegaskan sesuatu yang tidak terjadi.

— Glen_b -Reinstate Monica

Tidak bertanya, mengatakan berapa jumlahnya secara umum. Saya memodifikasi jawaban untuk mengatakan "beberapa." Jika itu tidak cukup baik, saya akan menghapus upaya membantu saya yang sederhana. Dan saya bertanya, "Cukup bagus, atau tidak?"

— Carl

Sekarang sedikit di sisi terang untuk sebuah jawaban. Anda mungkin ingin memindahkan beberapa informasi dari komentar Anda ke jawaban (informasi yang berkaitan dengan apa yang ada di koran dan tautan ke sana, setidaknya, meskipun saya akan menyertakan referensi yang tepat)

— Glen_b -Reinstate Monica

Telah diketahui bahwa kombinasi linear dari 2 variabel normal acak juga merupakan variabel normal acak. Adakah keluarga distribusi tidak normal yang umum (mis., Weibull) yang juga berbagi properti ini?

Saya kedengarannya seperti Anda mencari kelas distribusi Levy-stable . Ini adalah kelas dari semua distribusi yang memenuhi properti stabilitas: $\mathscr{P}$ $\mathcal{P} \in \mathscr{P}$

X_{1}, X_{2}, X_{3} \sim IID P ⟹ (\forall a) (\forall b) (\exists c > 0) (\exists d) : a X_{1} + b X_{2} \overset{Dist}{\sim} c X_{3} + d .

$X_1, X_2, X_3 \sim \text{IID } \mathcal{P} \quad \quad \implies \quad \quad (\forall a) (\forall b) (\exists c>0) (\exists d): \ aX_1 + bX_2 \overset{\text{Dist}}{\sim} c X_3 + d.$

Dengan kata lain, untuk setiap distribusi di kelas ini, jika Anda mengambil fungsi linier dari dua variabel acak independen dengan distribusi itu, maka ini memiliki distribusi yang sama dengan fungsi affine dari variabel acak tunggal dengan distribusi itu. (Perhatikan bahwa persyaratan stabilitas ini dapat diperketat dengan menetapkan , yang memberikan subkelas distribusi yang sangat stabil .) $d=0$

Distribusi Levy-stable dapat dianggap sebagai keluarga distribusi dalam haknya sendiri, dan dalam pengertian ini adalah satu-satunya keluarga distribusi dengan properti stabilitas ini, karena (menurut definisi) ia mencakup semua distribusi dengan properti ini. Distribusi normal berada dalam kelas distribusi Levy-stable, seperti halnya distribusi Cauchy , distribusi Landau , dan distribusi Holtsmark .

— Ben - Pasang kembali Monica
sumber