Menghasilkan Variabel Acak Binomial dengan Korelasi yang diberikan

Misalkan saya tahu cara membuat Variabel Acak Binomial independen. Bagaimana saya bisa menghasilkan dua variabel acak $X$ dan $Y$ seperti yang
$X \sim Bin (8, \frac{2}{3}), Y \sim Bin (18, \frac{2}{3}) and Corr (X, Y) = 0.5$ $X\sim \text{Bin}(8,\dfrac{2}{3}),\quad Y\sim \text{Bin}(18,\dfrac{2}{3})\ \text{ and }\ \text{Corr}(X,Y)=0.5$

Saya berpikir untuk mencoba menggunakan fakta itu $X$ dan $Y-\rho X$ independen di mana $\rho=Corr(X,Y)$ tapi saya tidak berpikir begitu $X-\rho Y$ didistribusikan secara Binomi jadi saya tidak dapat menggunakan metode ini. Jika ini berhasil maka saya akan menghasilkan dua variabel acak Binomial, katakanlah $A$ dan $B$ , lalu atur $X=A$ dan $Y-\rho X=B$ yaitu dan karenanya saya akan mendapatkan pasangan . Tapi saya tidak bisa melakukan ini karena tidak didistribusikan secara Binomially. $Y=B+\rho A$ $(X,Y)$ $Y-\rho X$

Setiap petunjuk akan dihargai tentang cara melanjutkan.

— Landon Carter
sumber

Sebenarnya masalah ini datang dalam ujian semester, jadi ini bukan pekerjaan rumah, tapi Anda bisa menyebutnya belajar mandiri, saya kira. Menambahkan tag.

— Landon Carter

Anda tidak dapat menggunakan representasi linear korelasi dalam distribusi dukungan diskrit.

Dalam kasus khusus distribusi Binomial, representasi

X = \sum_{i = 1}^{8} δ_{i} Y = \sum_{i = 1}^{18} γ_{i} δ_{i}, γ_{i} \sim B (1, 2 / 3)

$X=\sum_{i=1}^8 \delta_i\quad Y=\sum_{i=1}^{18} \gamma_i\quad \delta_i,\gamma_i\sim \text{B}(1,2/3)$ dapat dieksploitasi sejak itu

cov (X, Y) = \sum_{i = 1}^{8} \sum_{j = 1}^{18} cov (δ_{i}, γ_{j})

$\text{cov}(X,Y)=\sum_{i=1}^8\sum_{j=1}^{18}\text{cov}(\delta_i,\gamma_j)$ Jika kita memilih beberapa

δ_{i}

$\delta_i$ harus sama dengan beberapa

γ_{j}

$\gamma_j$ Jika tidak, dan dihasilkan secara independen, kami memperoleh

cov (X, Y) = \sum_{i = 1}^{8} \sum_{j = 1}^{18} I (δ_{i} := γ_{j}) var (γ_{j})

$\text{cov}(X,Y)=\sum_{i=1}^8\sum_{j=1}^{18}\mathbb{I}(\delta_i:=\gamma_j)\text{var}(\gamma_j)$ dimana notasinya

I (δ_{i} := γ_{j})

$\mathbb{I}(\delta_i:=\gamma_j)$ mengindikasikan bahwa

δ_{i}

$\delta_i$ dipilih identik dengan

γ_{j}

$\gamma_j$ daripada dihasilkan sebagai Bernoulli

B (1, 2 / 3)

$\text{B}(1,2/3)$ .

Karena batasannya adalah

cov (X, Y) = 0.5 \times \sqrt{8 \times 18} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3}

$\text{cov}(X,Y)=0.5\times\sqrt{8\times 18}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}$ kita harus menyelesaikannya

\sum_{i = 1}^{8} \sum_{j = 1}^{18} I (δ_{i} := γ_{j}) = 0.5 \times \sqrt{8 \times 18} = 6

$\sum_{i=1}^8\sum_{j=1}^{18}\mathbb{I}(\delta_i:=\gamma_j)=0.5\times\sqrt{8\times 18}=6$ Ini berarti bahwa jika kita memilih 6 dari 8

δ_{i}

$\delta_i$ Sama dengan 6 dari 18

γ_{j}

$\gamma_j$ Kita harus mendapatkan korelasi 0,5 ini.

Implementasinya berjalan sebagai berikut:

Menghasilkan $Z\sim\text{B}(6,2/3)$ , $Y_1\sim\text{B}(12,2/3)$ , $X_1\sim\text{B}(2,2/3)$ ;
Dibutuhkan $X=Z+Z_1$ dan $Y=Z+Y_1$

Kita dapat memeriksa hasil ini dengan simulasi R.

> z=rbinom(10^8,6,.66)
> y=z+rbinom(10^8,12,.66)
> x=z+rbinom(10^8,2,.66)
cor(x,y)
> cor(x,y)
[1] 0.5000539

Komentar

Ini adalah solusi yang agak artifisial untuk masalah karena hanya berhasil karena $8\times 18$ adalah kuadrat sempurna dan karena $\text{cor}(X,Y)\times\sqrt{8\times 18}$ adalah bilangan bulat. Untuk korelasi yang dapat diterima lainnya, pengacakan akan diperlukan, yaitu $\mathbb{I}(\delta_i:=\gamma_j)$ akan menjadi nol atau satu dengan beberapa probabilitas $\varrho$ .

Tambahan

Masalahnya telah diusulkan dan diselesaikan bertahun-tahun yang lalu di Stack Overflow dengan ide yang sama untuk berbagi Bernoullis.

— Xi'an
sumber

+1. Kamu tidak butuh itu

8 \times 18

$8\times 18$ menjadi persegi. Kondisi untuk Kor

(X, Y) = ρ

$(X,Y)=\rho$ untuk memiliki solusi (melalui metode ini) untuk

X \sim

$X\sim$ Binomial

(n, p)

$(n,p)$ dan

Y \sim

$Y\sim$ Binomial

(m, q)

$(m,q)$ adalah (1)

p = q

$p=q$ dan (2)

0 \leq ρ \sqrt{m n} \leq min (m, n)

$0\le \rho\sqrt{mn}\le \min(m,n)$ adalah bilangan bulat. Untuk negatif tertentu , menggunakan distribusi multinomial memberikan solusi. Pendekatan yang lebih umum - tetapi lebih sulit - akan menggunakan copulas.

ρ

$\rho$

— whuber

@whuber: untuk korelasi negatif, saya pertama kali berpikir untuk menggunakan tapi jelas tidak berhasil. Bisakah Anda mengembangkan solusi generik? (Saya juga memikirkan kopula, tetapi mengkalibrasi kopula untuk mencapai korelasi yang tepat adalah bisnis yang buruk, bukan ?!

1 - γ_{j}

$1-\gamma_j$

— Xi'an

Xi'an, saya ingin bertanya kepada Anda apakah metode yang Anda gunakan adalah metode standar. Ini karena saya banyak mencari di internet dan tidak dapat menemukan apa pun.

— Landon Carter

Saya setuju dengan Anda - Saya tidak ingin bekerja dengan copulas itu! Tetapi mereka setidaknya menunjukkan bahwa solusi harus ada (dalam batas-batas tertentu pada , tergantung pada parameter lain) dalam pengaturan yang paling umum. Akan menarik untuk mengetahui apakah konstruksi yang lebih sederhana, seperti yang Anda berikan di sini, dapat dibawa untuk menangani kasus di mana atau . Yedaynara: metode pemisahan dua variabel menjadi adalah standar untuk setiap keluarga parametrik yang ditutup dengan penambahan; dan hanya itu yang terjadi di sini.

ρ

$\rho$

p \neq q

$p\ne q$

ρ < 0

$\rho \lt 0$

X, Y

$X,Y$

X^{'} + Z, Y^{'} + Z

$X^\prime+Z, Y^\prime+Z$

— Whuber

@yedaynara: Saya terkejut Anda tidak dapat menemukan "apa pun" karena saya menggunakan Google "simulasi simulasi Binomial" dan segera menemukan posting ini di Stack Overflow .

— Xi'an