Bagaimana cara menghitung interval prediksi untuk regresi berganda OLS?

Apa notasi aljabar untuk menghitung interval prediksi untuk regresi berganda?

Kedengarannya konyol, tetapi saya kesulitan menemukan notasi aljabar yang jelas tentang ini.

multiple-regression least-squares prediction-interval

— Michael
sumber

Ambil model regresi dengan observasi dan regressor: $N$ $k$

y = X β + u

$\mathbf{y=X\beta+u} \newcommand{\Var}{\rm Var}$

Diberikan vektor $\mathbf{x_0}$ , nilai prediksi untuk pengamatan itu adalah

E [y | x_{0}] = {\hat{y}}_{0} = x_{0} \hat{β} .

$E[y \vert \mathbf{x_0}]=\hat y_0 = \mathbf{x_0} \hat \beta.$ Estimator yang konsisten dari varian prediksi ini adalah

{\hat{V}}_{p} = s^{2} \cdot x_{0} \cdot (X^{'} X)^{- 1} x_{0}^{'},

$\hat V_p=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x'_0},$

s^{2} = \frac{Σ_{i = 1}^{N} {\hat{u}}_{i}^{2}}{N - k} .

$s^2=\frac{\Sigma_{i=1}^{N} \hat u_i^2}{N-k}.$ mana

Kesalahan perkiraan untuk

y_{0}

$y_0$ tertentu adalah

\hat{e} = y_{0} - {\hat{y}}_{0} = x_{0} β + u_{0} - {\hat{y}}_{0} .

$\hat e=y_0-\hat y_0=\mathbf{x_0}\beta+u_0-\hat y_0.$ Kovarians nol antara

u_{0}

$u_0$ dan

\hat{β}

$\hat \beta$ menyiratkan bahwa

V a r [\hat{e}] = V a r [{\hat{y}}_{0}] + V a r [u_{0}],

$\Var[\hat e]=\Var[\hat y_0]+\Var[u_0],$ dan penduga yang konsisten yaitu

{\hat{V}}_{f} = s^{2} \cdot x_{0} \cdot (X^{'} X)^{- 1} x_{0}^{'} + s^{2} .

$\hat V_f=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x'_0} + s^2.$

The $1-\alpha$ $\rm confidence$ Interval akan:

y_{0} \pm t_{1 - α / 2} \cdot \sqrt{{\hat{V}}_{p}} .

$y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{p}}.$ The

1 - α

$1-\alpha$

p r e d i c t i o n

$\rm prediction$ Interval akan lebih luas:

y_{0} \pm t_{1 - α / 2} \cdot \sqrt{{\hat{V}}_{f}} .

$y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{f}}.$

— Dimitriy V. Masterov
sumber

Jawaban di atas dilakukan dengan sangat baik, tetapi saya pikir sumber ini membantu menyediakan beberapa konteks untuk pertanyaan itu.

— Skeeter Juni

@ Dimitriy Saya yakin eqn kedua Anda harus memiliki wortel / topi, '^', di atas .

β

$\beta$

— Don Slowik

Bukankah ramalan ramalan merupakan residual: ?

\hat{e} = \hat{u}

$\hat{e}=\hat{u}$

— Don Slowik