Apakah kovarians dari variabel terstandar berkorelasi?

Saya punya pertanyaan mendasar. Katakanlah saya memiliki dua variabel acak, dan . Saya dapat membakukan mereka dengan mengurangi mean dan membaginya dengan deviasi standar, yaitu, . $X$ $Y$ $X_{standardized} = \frac{(X - E(X))}{(SD(X))}$

Apakah korelasi dan , , sama dengan kovarians versi standar dan ? Yaitu, apakah ? $X$ $Y$ $Cor(X, Y)$ $X$ $Y$ $Cor(X, Y) = Cov(X_{standardized}, Y_{standardized})$

correlation covariance standardization

— Jake Fisher
sumber

Iya.

${}{}{}{}{}$

— Dilip Sarwate

\begin{aligned} kor (X, Y) & = \frac{E ((X - E (X)) \times (Y - E (Y)))}{S D (X) \times S D (Y)} \\ Cov (X_{terstandarisasi}, Y_{terstandarisasi}) & = E [(\frac{(X - E (X))}{(S D (X))} - 0) \times (\frac{(Y - E (Y))}{(S D (Y))} - 0)] \\ = \frac{E ((X - E (X)) \times (Y - E (Y)))}{S D (X) \times S D (Y)} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{corr}(X,Y)&=\frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)}\\ \operatorname{Cov}(X_{\text{standardized}}, Y_{\text{standardized}}) &=E\Bigg[\Bigg(\frac{(X - E(X))}{(SD(X))}-0\Bigg)\times\Bigg(\frac{(Y - E(Y))}{(SD(Y))}-0\Bigg)\Bigg]\\ &= \frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)} \end{align}$ Jadi, Ya!

— Hemant Rupani
sumber

Apa???? Sisi kanan persamaan pertama Anda adalah variabel acak sedangkan sisi kiri adalah konstanta.

— Dilip Sarwate

Kesalahan no. Pertanyaannya adalah tentang korelasi dan kovarians dari variabel acak sedangkan jawaban Anda adalah tentang korelasi sampel dan kovarians. Misalnya, hasil yang ditanyakan tentang tahan untuk variabel acak kontinu sedangkan yang terbaik yang Anda miliki hanya berlaku untuk variabel acak diskrit yang mengambil nilai dengan probabilitas yang sama .

(X_{1}, Y_{1}), \dots, (X_{n}, Y_{n})

$(X_1,Y_1), \ldots, (X_n,Y_n)$

\frac{1}{n}

$\frac 1n$

— Dilip Sarwate

Tidak terlalu. Anda tidak memerlukan langganan sama sekali, jadi saya telah melanjutkan dan menghapusnya, dan sedikit memperbaiki presentasi. Jangan ragu untuk mundur jika Anda tidak suka perubahannya.

i

$i$

— Dilip Sarwate

Anda mengambil SD (X) dan SD (Y) di luar harapan. Tolong jelaskan alasan langkah ini.

— Erdogan CEVHER

Konstanta @Erdogan dapat diambil di luar fungsi yang diharapkan () tanpa perubahan.

— Hemant Rupani