Nilai yang diharapkan dari variabel acak pada pelemparan koin

Datang ke masalah yang menarik hari ini. Anda diberi koin dan uang x, Anda gandakan uang jika Anda mendapatkan kepala dan kehilangan setengah jika ekor pada setiap lemparan.

1. Berapa nilai yang diharapkan dari uang Anda dalam percobaan
2. Berapakah probabilitas mendapatkan lebih dari nilai yang diharapkan dalam (1)

Ini adalah bagaimana saya mendekatinya. Probabilitas kepala dan ekor sama (1/2). Nilai yang diharapkan setelah lemparan pertama = Jadi nilai yang diharapkan adalah setelah lemparan pertama. Demikian pula mengulangi harapan lemparan kedua pada 5x / 4, Nilai yang diharapkan setelah lemparan kedua =$1/2(2*x) + 1/2(1/2*x) = 5x/4$$5x/4$$1/2(2*5x/4) + 1/2(1/2*5x/4) = 25x/16$

Jadi Anda mendapatkan urutan nilai yang diharapkan: , , , ...$5x/4$$25x/16$$125x/64$

Setelah mencoba, nilai yang Anda harapkan seharusnya .$n$$(5^n/4^n) * x$

Jika cukup besar, nilai yang Anda harapkan harus mendekati rata-rata distribusi. Jadi probabilitas bahwa nilai lebih besar dari nilai yang diharapkan harus . Saya tidak yakin tentang yang ini.$n$$0.5$

Jika n cukup besar, nilai yang Anda harapkan harus mendekati rata-rata distribusi.

Ya itu benar.

Jadi probabilitas bahwa nilai lebih besar dari nilai yang diharapkan harus 0,5.

Ini hanya akan benar jika distribusinya simetris - yang dalam gim Anda tidak demikian. Anda dapat melihat ini dengan mudah jika Anda berpikir tentang apa nilai median dari kemenangan Anda setelahnya$n$ melempar.

Anda dapat menganggap masalah Anda sebagai jalan acak . Jalan acak satu dimensi dasar adalah jalan pada garis nyata bilangan bulat, di mana pada setiap titik kita bergerak$\pm 1$ dengan probabilitas $p$. Ini persis apa yang Anda miliki jika kita mengabaikan penggandaan / pembagian uang menjadi dua$p=0.5$. Yang harus kita lakukan adalah memetakan ulang sistem koordinat Anda ke contoh ini. Membiarkan$x$menjadi pot awal awal Anda. Lalu kami memetakan dengan cara berikut:

x*2^{-2} = -2
x*2^{-1} = -1 
  x = 0
 x*2 = 1  

yaitu $2^k x=k$. Membiarkan$S_n$ menunjukkan berapa banyak uang yang kami hasilkan dari game setelahnya $n$ berbalik, lalu

Ketika bukan kelipatan 2, maka . Untuk memahami ini, anggaplah bahwa kita mulai dengan £ 10. Setelah belokan, satu-satunya nilai yang mungkin adalah £ 5 atau £ 20, yaitu atau .$(n+k)$$Pr(S_n)=0$$n=1$$k=-1$$k=1$

Hasil di atas adalah hasil standar dari jalan acak. Google random walks untuk info lebih lanjut. Juga dari teori random walk, kita dapat menghitung median return menjadi , yang tidak sama dengan nilai yang diharapkan.$x$

Catatan: Saya berasumsi bahwa Anda selalu dapat separuh uang Anda. Sebagai contoh, 1pence, 0.5pence, 0.25pence semuanya diizinkan. Jika Anda menghapus asumsi ini, maka Anda memiliki jalan acak dengan dinding penyerap.

Untuk kelengkapan

Berikut ini adalah simulasi cepat dalam R dari proses Anda:

#Simulate 10 throws with a starting amount of x=money=10
#n=10
simulate = function(){
  #money won/lost in a single game
  money = 10
  for(i in 1:10){
    if(runif(1) < 0.5)
      money = money/2
    else
      money = 2*money
  }
  return(money)
}

#The Money vector keeps track of all the games
#N is the number of games we play
N = 1000
Money = numeric(N)
for(i in 1:N)
  Money[i]= simulate()

mean(Money);median(Money)
#Probabilities
#Simulated
table(Money)/1000
#Exact
2^{-10}*choose(10,10/2)

#Plot the simulations
plot(Money)

Biarkan menjadi kekayaan setelah memainkan game ini, di mana kita menganggap Godaan di sini adalah untuk mengambil , dan mempelajari sebagai jalan acak simetris, dengan inovasi ukuran . Ternyata, ini akan baik-baik saja untuk pertanyaan kedua, tetapi bukan yang pertama. Sedikit pekerjaan akan menunjukkan bahwa, asimptotik kita memiliki . Dari sini Anda tidak dapat menyimpulkan bahwa adalah log asimtotik yang biasanya didistribusikan dengan Operasi log tidak bolak-balik dengan batas. Jika ya, Anda akan mendapatkan nilai yang diharapkan dari sebagai$S_k$$k$$S_0 = 1.$$X_k = \log{S_k}$$X_k$$\pm \log{2}$$X_k \sim \mathcal{N}(0,k(\log{2})^2)$$S_k$$\mu = 0, \sigma = \log{2}\sqrt{k}.$$S_k$$\exp{(k \log{2}\log{2}/2)}$ , yang hampir benar, tetapi tidak cukup.

Namun, metode ini baik-baik saja untuk menemukan kuantil , dan pertanyaan probabilitas lainnya, seperti pertanyaan (2). Kami memilikiKuantitas di sisi kiri dari ketidaksetaraan terakhir adalah, asimptotik, standar normal, dan dengan demikian probabilitas bahwa melebihi rata-rata mendekati mana adalah CDF dari standar normal. Ini mendekati nol dengan cukup cepat.$S_k$$S_k \ge (\frac{5}{4})^k \Leftrightarrow X_k \ge k \log{(5/4)} \Leftrightarrow X_k / \sqrt{k}\log{2} \ge \sqrt{k}\log{(5/4})/\log{2}.$$S_k$$1 - \Phi{(\sqrt{k}\log{(5/4)}/\log{2})},$$\Phi$

Kode Matlab untuk memeriksa ini:

top_k = 512;
nsamps = 8192;
innovs = log(2) * cumsum(sign(randn(top_k,nsamps)),1);
s_k = exp(innovs);
k_vals = (1:top_k)';
mean_v = (5/4) .^ k_vals;
exceed = bsxfun(@ge,s_k,mean_v);
prob_g = mean(double(exceed),2);

%theoretical value
%(can you believe matlab doesn't come with normal cdf function!?)
nrmcdf = @(x)((1 + erf(x / sqrt(2)))/2);
p_thry = 1 - nrmcdf(sqrt(k_vals) * log(5/4) / log(2));

loglog(k_vals,prob_g,'b-',k_vals,p_thry,'r-');
legend('empirical probability','theoretical probability');

grafik yang dihasilkan:

Anda benar tentang harapan itu.

Anda sebenarnya juga memiliki jawaban yang tepat untuk kemungkinan mendapatkan lebih dari taruhan asli Anda, meskipun bukan bukti yang tepat. Pertimbangkan, alih-alih jumlah uang mentah yang Anda miliki, logaritma basis-2-nya. Ini ternyata menjadi berapa kali Anda menggandakan uang Anda, dikurangi berapa kali Anda membagi dua. Ini adalah jumlah dari variabel acak independen, masing-masing sama dengan atau dengan probabilitas . Probabilitas yang Anda inginkan adalah probabilitas bahwa ini positif. Jika aneh, maka dengan simetri itu persis ; jika adalah even (sebut saja ) maka itu$S_n$$n$$+1$$-1$$1/2$$n$$1/2$$n$$2k$$1/2$minus setengah probabilitas bahwa . Tapi , yang mendekati sebagai .$S_n = 0$$P(S_{2k} = 0) = {2k \choose k}/2^{2k}$$0$$k \to \infty$