Membiarkan

Saya belajar mandiri pada teori model linier sekarang, dan satu hal yang saya temukan mengejutkan adalah meskipun didefinisikan untuk vektor acak , tidak disebutkan lagi momen-momen selanjutnya selain matriks kovarians. $\mathbb{E}[\mathbf{Y}]$ $\mathbf{Y} = \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_n\end{bmatrix}$

Pencarian Google belum banyak berubah. Apakah momen th (raw) dipertimbangkan, atau adakah ide lain yang tidak saya ketahui? $k$ $\mathbf{Y}$

Saya belajar dari teks Plane Answers ke Pertanyaan Kompleks (TOC dimulai pada hlm. 17 dari file tertaut). Dengan "mempertimbangkan," yang saya maksud adalah apakah ada yang namanya , dan jika demikian, bagaimana konsep seperti itu akan didefinisikan? Buku yang saya miliki hanya membahas momen mentah pertama, dan saya merasa agak aneh bahwa tidak disebutkan bagaimana mendefinisikan diberikan pengalaman saya di univariat probabilitas, saya juga tidak memiliki keahlian untuk mendefinisikannya. $\mathbb{E}\left[\mathbf{Y}^k\right]$ $\mathbb{E}\left[\mathbf{Y}^k\right]$

Lebih jauh, jika tidak didefinisikan, apakah mungkin ada konsep terkait yang saya tidak tahu tentang yang digunakan sebagai gantinya? $\mathbb{E}\left[\mathbf{Y}^k\right]$

self-study moments

— Klarinetis
sumber

Halaman ini menunjukkan hubungan antara momen mentah dan sentral, dan menjelaskan keunggulan momen pusat.

— EdM

@ EDM saya tidak mengerti; yang sepertinya berbicara tentang momen univariat, yang sangat saya kenal. Saya bertanya-tanya apakah ada pertimbangan

k

$k$ - momen mentah (

k \geq 2

$k \geq 2$ ) untuk kasus multivarian (yaitu, dengan vektor acak), bukan case univariat, dan jika demikian, bagaimana konsep seperti itu akan didefinisikan.

— Klarinetis

Terkait: mathoverflow.net/questions/202732/...

— Andrew M

Perasaan saya adalah bahwa statistik invarian sehubungan dengan terjemahan sepanjang sumbu variabel dianggap yang paling berguna, dan dengan demikian momen mentah tidak akan sering diperiksa sebagai momen sentral, yang memang memiliki properti yang bermanfaat. Halaman Cross Validated ini mencakup diskusi ekstensif tentang momen tingkat tinggi dan masalah terkait.

— EdM

Bisakah Anda memperkuat apa yang Anda maksud dengan "teori model linier" dan "dipertimbangkan"? Dalam beberapa aplikasi yang lebih sederhana, asumsi model linier hanya dibuat sekitar dua momen pertama

Y

$\mathbf{Y}$ , tetapi pada yang lain - seperti model linier umum - dibuat asumsi yang memiliki implikasi spesifik untuk seluruh distribusi

Y

$\mathbf{Y}$ .

— whuber

Jawaban:

Analog yang tepat dari momen univariat dalam pengaturan multivarian adalah dengan melihat eksponen $\mathbf{k} = (k_1, k_2, \ldots, k_n)$ sebagai vektor juga. Notasi eksponensial dengan basis vektor dan vektor eksponen adalah singkatan untuk produk,

y^{k} = y_{1}^{k_{1}} y_{2}^{k_{2}} \dots y_{n}^{k_{n}} .

$\mathbf{y}^\mathbf{k} = y_1^{k_1} y_2 ^{k_2} \cdots y_n^{k_n}.$

Untuk vektor seperti itu $\mathbf{k}$ , mentah) $\mathbf{k}^\text{th}$ momen dari variabel acak $\mathbf{Y}$ didefinisikan sebagai

μ_{k} = E (Y^{k}) .

$\mu_\mathbf{k} = \mathbb{E}\left(\mathbf{Y}^\mathbf{k}\right).$

Untuk memotivasi definisi seperti itu, pertimbangkan momen univariat dari fungsi linear $\mathbf{Y}$ :

E ({(λ_{1} Y_{1} + \dots + λ_{n} Y_{n})}^{m}) = \sum_{k} (\binom{m}{k}) λ^{k} μ_{k}

$\mathbb{E}\left(\left(\lambda_1 Y_1 + \cdots + \lambda_n Y_n\right)^m\right) = \sum_\mathbf{k} \binom{m}{\mathbf{k}}\lambda^\mathbf{k} \mu_\mathbf{k}$

di mana jumlah itu terjadi atas semua $\mathbf{k}$ yang seluruh komponennya adalah angka-angka non-negatif yang dijumlahkan $m$ dan $\binom{m}{\mathbf{k}} = m!/(k_1!k_2!\cdots k_n!)$ adalah koefisien multinomial. Munculnya momen multivariat di sisi kanan menunjukkan mengapa mereka bersifat generalisasi dan penting dari momen univariat.

Ini muncul sepanjang waktu. Misalnya, kovarians antara $Y_i$ dan $Y_j$ tidak lain adalah

Cov (Y_{saya}, Y_{j}) = E (Y_{saya} Y_{j}) - E (Y_{saya}) E (Y_{j}) = μ_{k_{saya} + k_{j}} - μ_{k_{saya}} μ_{k_{j}}

$\text{Cov}(Y_i, Y_j) = \mathbb{E}(Y_i Y_j)- \mathbb{E}(Y_i)\mathbb{E}(Y_j) = \mu_{\mathbf{k}_i + \mathbf{k}_j} - \mu_{\mathbf{k}_i}\mu_{\mathbf{k}_j}$

dimana $\mathbf{k}_i$ dan $\mathbf{k}_j$ adalah vektor indikator dengan nol di semua kecuali satu tempat dan satu di lokasi yang ditunjukkan. (Rumus yang sama elegan menghasilkan varians dari $Y_i$ kapan $i=j$ .)

Ada generalisasi alami dari semua konsep momen univariat ke pengaturan multivariat: fungsi pembangkit momen, kumulan, fungsi pembangkit kumulans, momen sentral, fungsi karakteristik, dan hubungan aljabar dan analitik di antara mereka semua.

Referensi

Alan Stuart dan J. Keith Ord, Teori Statistik Lanjutan Kendall , Edisi Kelima. Oxford University Press, 1987: Volume I, Bab 3, Momen dan Cumulan.

— whuber
sumber

Selain poin @ whuber

1) Saya tidak yakin apa yang diperlukan teori model linear tetapi ingat bahwa dalam model linear kita umumnya berurusan dengan variabel acak normal yang memiliki 0 condong dan 0 kurtosis.

2) Secara umum, pertanyaannya adalah dalam bentuk "Seberapa tepat tepatnya?". Jika saya ingin mendeskripsikan sampel IID saya bisa mengatakan saya hanya menginginkan mean. Atau saya bisa mengatakan saya ingin mean dan kesalahan dalam mean. Alternatif yang bahkan lebih rinci adalah cara, kesalahan dalam cara dan kesalahan dalam kesalahan dalam cara. Dari pola ini Anda dapat melihat bagaimana momen yang lebih tinggi terus meningkat. Tidak ada solusi nyata untuk masalah ini sehingga orang umumnya berhenti di level 2 (yaitu, mean dan varians). Itu tidak berarti saat-saat yang lebih tinggi tidak berguna. Bahkan, untuk masalah yang melibatkan distribusi ekor gemuk masalah ini menjadi relevan

— Sid
sumber