Distribusi rasio seragam: Apa yang salah?

Misalkan dan adalah dua variabel acak seragam iid pada interval $X$ $Y$ $[0,1]$

Misalkan , saya menemukan cdf dari , yaitu . $Z=X/Y$ $Z$ $\Pr(Z\leq z)$

Sekarang, saya menemukan dua cara untuk melakukan ini. Yang satu menghasilkan jawaban yang benar sesuai dengan pdf di sini: http://mathworld.wolfram.com/UniformRatioDistribution.html , yang lain tidak. Mengapa metode kedua salah?

Metode pertama

$\newcommand{\rd}{\mathrm{d}} \Pr(Z\leq z) = \Pr(X/Y\leq z) = \Pr(X\leq zY) = \int^{1}_{0}\int^{\min(1,zy)}_{0} \rd x \rd y = \int^{1}_{0}\min(1,zy)\ \rd y$ $= \left\{ \begin{array}{lr} \int^{1/z}_{0}zy\ \rd y + \int^{1}_{1/z} \rd y& : z > 1\\ \int^{1}_{0}zy\ \rd y & : z \leq 1 \end{array} \right.$ $= \left\{ \begin{array}{lr} 1 - \frac{1}{2z} & : z > 1\\ \frac{z}{2} & : z \leq 1 \end{array} \right.$

Tampaknya ini benar.

Metode Kedua

$\Pr(X/Y\leq z) = \Pr(X \leq zY\ |\ zY \geq 1)\Pr(zY \geq 1) + \Pr(X \leq zY\ |\ zY < 1)\Pr(zY < 1)$ dengan probabilitas total

$= \Pr(X \leq zY\ |\ zY \geq 1)\Pr(Y \geq 1/z) + \Pr(X \leq zY\ |\ zY < 1)\Pr(Y < 1/z)$

Mengambil hasil $z>1$ $(1)(1-\frac{1}{z}) + (\int^{1/z}_{0}\int^{zy}_{0} \rd x \rd y)(\frac{1}{z}) = 1-\frac{1}{z} + (\int^{1/z}_{0}zy\ \rd y)(\frac{1}{z}) = 1-\frac{1}{z} + \frac{1}{2z^{2}}$

Ini sudah berbeda. Kenapa ini salah?

Terima kasih!

— Junier
sumber

Ini sebuah petunjuk .

Pertimbangkan baik-baik istilah . Secara khusus, untuk konkret, pilih , sehingga kami mempertimbangkan event . $\mathbb P( X \leq z Y \mid z Y < 1 )$ $z = 2$ $\mathbb P( X \leq 2 Y \mid Y < 1/2 )$

Sekarang, lihat gambar ini (yang sangat erat kaitannya dengan probabilitas di atas).

Plot probabilitas bersyarat untuk rasio seragam

Sekarang, apakah probabilitas bersyarat itu bergantung pada pilihan tertentu kita ? $z$

— kardinal
sumber

Saya kira deskripsi gambar yang lebih formal adalah: Misalkan kita dapat melihat bahwa pdf untuk adalah jadi Tapi saya masih tidak mengerti mengapa pengaturan integral seperti yang saya lakukan sebelumnya tidak berfungsi. Bahkan jika nilai z tidak memainkan peran nyata, mengapa menetapkan batas integral x ke zy dan kemudian menetapkan batas integral y ke 1 / z tidak memperbaikinya?

R = z Y

$R = zY$

R

$R$

1 / z

$1/z$

Pr (X \leq R \land R < 1) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{r} 1 / z d x d r = \frac{1}{2 z}

$\Pr(X \leq R \wedge R < 1) = \int^{1}_{0}\int^{r}_{0} 1/z\ dx\ dr = \frac{1}{2z}$

— Junier

Ah, ok saya pikir mungkin saya mengerti. Jadi kita akan memiliki wilayah yang dikontrak ini {(x, y): y <1 / z} pada unit square, maka kita akan memperluas wilayah tersebut dengan z jadi {(x, y): y <z / z}. Yaitu semua unit lagi. Wilayah di mana x <y adalah 1/2. Tetapi bagaimana kita memformalkan intuisi ini secara matematis; yaitu mengikuti kontrak ini, perluas rute secara formal? Dan apa saja tip untuk menghindari kesalahan seperti ini?

— Junier

@Junier Menggambar gambar sering membantu :-).

— whuber

+1 @whuber. Jika ragu, buatlah gambar. Ini sepertinya selalu mengklarifikasi masalah yang saya alami.

— Fomite

Tergantung pada seberapa formal Anda ingin memformalkan ini secara matematis. Perhatikan pertama bahwa adalah probabilitas gabungan , bukan probabilitas bersyarat yang Anda coba hitung. Ini adalah kesalahan yang cukup umum. Perhatikan bahwa membagi apa yang Anda miliki dengan memulihkan jawaban yang benar. (Ini hanya aturan Bayes.)

\int_{0}^{1 / z} \int_{0}^{z y} d x d y

$\int_0^{1/z} \int_{0}^{zy} \mathrm{d}x \mathrm{d}y$

P (0 \leq X \leq z Y, 0 \leq Y \leq 1 / z)

$\mathbb P(0 \leq X \leq zY, 0 \leq Y \leq 1/z)$

P (0 \leq Y \leq 1 / z) = 1 / z

$\mathbb P(0 \leq Y \leq 1/z) = 1/z$

— kardinal