Statistik pesanan untuk distribusi beta

Misalkan menjadi undian dari . Bagaimana statistik pesanan minimum dan maksimum didistribusikan, masing-masing? $x_1,\dots,x_n$ $Beta\left(\frac{k}2,\frac{k-p-1}{2}\right)$

Saya akan sangat menghargai referensi jika memungkinkan. Secara umum saya tidak terbiasa dengan derivasi statistik pesanan.

Sunting: Mengingat bahwa distribusi beta dapat diartikan sebagai statistik- untuk distribusi seragam, perkiraan saya adalah bahwa minimum atau maksimum distribusi beta didistribusikan menurut distribusi beta lain. $k$

Edit_2: Saya menambahkan pengaturan yang sedikit lebih tepat yang kebetulan saya pedulikan. Pada akhirnya saya mencari tailbound untuk minimum dan maksimum, jadi apa pun bentuk mengarah ke sini saya akan puas. Saya juga pada akhirnya tertarik pada kasus asimptotik, tetapi ini adalah kekhawatiran saya selanjutnya.

order-statistics beta-distribution

— Lepidopterist
sumber

Anda mungkin ingin menyebutkan bentuk jawaban yang Anda butuhkan. Secara umum, PDF akan menjadi polinomial kali kekuatan dari fungsi Beta tidak lengkap, yang kemungkinan tidak akan menyederhanakan atau bahkan dapat dihitung kecuali secara numerik.

— whuber

@whuber, saya mencoba menjawab pertanyaan Anda di edit kedua saya. Saya pertama-tama mengubah pengaturan menjadi sedikit lebih spesifik untuk minat saya. Kedua, saya terutama prihatin dengan mengekor kedua hal ini. Apapun untuk mengarah itu akan membuatku bahagia. Apakah argumen saya benar tentang mengapa seharusnya distribusi Beta (setidaknya dalam beberapa kasus)?

— Lepidopterist

Saya percaya argumen Anda berlaku ketika (a) dan Anda mencari minimum dan (b) dan Anda mencari maksimum. Kalau tidak, itu tidak berlaku karena nilai-nilai ekstrim dari satu set statistik tingkat menengah tidak sama dengan statistik pesanan.

k / 2 = 1

$k/2=1$

(k - p - 1) / 2 = 1

$(k-p-1)/2=1$

— whuber

Saya tertarik pada kasus yang lebih umum belum tentu . Bahkan, pada akhirnya saya ingin menghitung apa yang terjadi ketika dan pergi hingga tak terbatas.

(k - p - 1) / 2

$(k-p-1)/2$

1

$1$

k

$k$

p

$p$

— Lepidopterist

Anda juga harus menentukan sesuatu tentang hubungan antara dan karena keduanya menuju keabadian - apakah yang satu lebih cepat dari yang lain?

k

$k$

p

$p$

— MichaelChirico

Biarkan variabel acak induk dengan pdf : $X \sim Beta(a,b)$ $f(x)$

_{(sumber: tri.org.au )}

Kemudian, diberi sampel ukuran , pdf statistik urutan (minimum sampel) adalah: $n$ $1^{st}$

_{(sumber: tri.org.au )}

... dan pdf dari statistik pesanan (maksimum sampel) adalah: $n^{th}$

_{(sumber: tri.org.au )}

dimana:

Saya menggunakan OrderStatfungsi dari paket mathStatica untuk Mathematica untuk mengotomatiskan seluk-beluknya
Beta[x,a,b]menunjukkan fungsi Beta yang tidak lengkap $B_x(a,b) = \int _0^x t^{a-1} (1-t)^{b-1} d t$
dan domain dukungan adalah (0,1).

— serigala
sumber