Apa yang bisa kita katakan tentang populasi artinya dari ukuran sampel 1?

43

Saya bertanya-tanya apa yang bisa kita katakan, jika ada, tentang populasi berarti, ketika semua yang saya miliki adalah satu pengukuran, (ukuran sampel 1). Jelas, kami ingin memiliki lebih banyak pengukuran, tetapi kami tidak bisa mendapatkannya. $\mu$ $y_1$

Menurut saya, karena mean sampel, , sama dengan , maka . Namun, dengan ukuran sampel 1, varians sampel tidak terdefinisi, dan dengan demikian kepercayaan kami dalam menggunakan sebagai penaksir juga tidak terdefinisi, benar? Apakah akan ada cara untuk membatasi estimasi kami tentang sama sekali? $\bar{y}$ $y_1$ $E[\bar{y}]=E[y_1]=\mu$ $\bar{y}$ $\mu$ $\mu$

— Terima kasih
sumber

Ya, interval kepercayaan pada dapat dibangun berdasarkan asumsi tertentu. Jika tidak ada yang mempostingnya, saya akan melacaknya.

μ

$\mu$

— soakley

5

Lihat stats.stackexchange.com/questions/1807 untuk versi lain dari pertanyaan yang sama (rata-rata sampel tersedia, tetapi bukan ukuran sampelnya, sehingga secara efektif rata-rata adalah pengamatan tunggal dari distribusi sampel yang tidak diketahui) dan stats.stackexchange .com / pertanyaan / 20300 untuk diskusi terkait.

— whuber

sebuah artikel baru-baru ini yang membahas optimalitas estimator ini dalam kasus normal: tandfonline.com/doi/full/10.1080/00031305.2017.1360796

— user795305

8

Berikut adalah artikel baru tentang pertanyaan ini untuk kasus Poisson, mengambil pendekatan pedagogis yang bagus:

Andersson. Per Gösta (2015). Pendekatan Kelas untuk Konstruksi Perkiraan Interval Percaya Diri dari Mean Poisson Menggunakan Satu Pengamatan. The American Statistician , 69 (3), 160-164, DOI: 10.1080 / 00031305.2015.1056830 .

— S. Kolassa - Reinstate Monica
sumber

... sayangnya di balik paywall.

— Tim

@ Tim: begitulah. Kemudian lagi, keanggotaan ASA tidak terlalu mahal, dan Anda mendapatkan akses ke The American Statistician , JASA dan beberapa jurnal lainnya dengan harga yang sangat wajar, yang secara pribadi saya dengan senang hati membayar dari kantong saya sendiri. Saya benar-benar berpikir Anda mendapatkan nilai uang Anda di sini. YMMV, tentu saja.

— S. Kolassa - Reinstate Monica

4

1 tetapi kasus Poisson secara radikal berbeda dari kasus normal karena varians harus sama dengan rata-rata. Hasil Poisson cukup mudah sedangkanhasil untuk kasus normal adalah kontra-intuitif dan misterius.

x \pm 9.68 | x |

$x\pm 9.68 |x|$

— Amoeba berkata Reinstate Monica

@amoeba: cukup benar, tetapi OP tidak menentukan batasan pada distribusi.

— S. Kolassa - Reinstate Monica

Ini sangat singkat sehingga lebih baik berfungsi sebagai komentar. Tetapi karena itu adalah jawaban yang diterima, Anda mungkin tidak ingin mengubahnya menjadi komentar. Bisakah Anda merangkum poin-poin utama artikel ini?

— Richard Hardy

42

Jika populasi diketahui normal, interval kepercayaan 95% berdasarkan pengamatan tunggal diberikan oleh $x$

x \pm 9.68 | x |

$x \pm 9.68 \left| x \right|$

Ini dibahas dalam artikel "Interval Keyakinan Efektif untuk Mean Dengan Sampel Ukuran Satu dan Dua," oleh Wall, Boen, dan Tweedie, The American Statistician , Mei 2001, Vol. 55, No.2 . ( pdf )

— soakley
sumber

5

Aku benci kedengarannya bodoh tapi .... pasti tidak. Ini tergantung pada unit dan tidak berperilaku sama sekali (maksud saya adalah multiplikasi skalar ....)

— Alec Teal

8

@Alec Hanya karena suatu prosedur tergantung pada unit pengukuran (yaitu, itu tidak invarian) tidak berarti itu secara otomatis tidak valid atau bahkan buruk. Yang ini valid: baca artikel dan berhitung. Banyak yang akan mengakui bahwa itu sedikit mengganggu . Yang lebih mengejutkan, Anda bahkan tidak perlu mengasumsikan distribusi yang mendasarinya adalah Normal: hasil yang sama berlaku untuk distribusi unimodal (tetapi 9,68 harus ditingkatkan menjadi sekitar 19 atau lebih): lihat tautan yang saya berikan dalam komentar untuk ini pertanyaan.

— whuber

4

\frac{| μ |}{σ}

${{\left| \mu \right| } \over {\sigma}}$

5

Hanya untuk menghemat sedikit pekerjaan Anda: surat - surat kepada editor & balasan catatan @soakley muncul di The American Statistician , vol. 56, tidak. 1 (2002) .

— S. Kolassa - Reinstate Monica

3

95 %

$95\%$

σ \approx | μ | > 0

$\sigma \approx | \mu | \gt 0$

μ = 0

$\mu = 0$

100 %

$100\%$

0

$0$

28

$\mu$

— S. Kolassa - Reinstate Monica
sumber

18

(+1) Satu pengamatan akan kewalahan oleh yang sebelumnya, sehingga akan terlihat bahwa apa yang Anda dapatkan dari posterior tidak akan lebih dari apa yang Anda masukkan sebelumnya.

— whuber

x \pm 9.68 | x |

$x \pm 9.68 \left|x\right|$

x \pm 9.68 | x |

$x\pm 9.68|x|$

x

$x$

@StephanKolassa Tidak, interval ini (dan distribusi yang terkait) membentuk kemungkinan. Sebelumnya kami terpisah.

— Simon Kuang

@SimonKuang: ya, Anda benar, kesalahan saya. Sayangnya, saya tidak punya waktu untuk melewati ini saat ini, tetapi jika Anda melakukan ini, silakan posting apa yang Anda temukan!

— S. Kolassa - Reinstate Monica

14

Latihan simulasi kecil untuk menggambarkan apakah jawaban oleh @soakley berfungsi:

# Set the number of trials, M
M=10^6
# Set the true mean for each trial
mu=rep(0,M)
# Set the true standard deviation for each trial
sd=rep(1,M)
# Set counter to zero
count=0
for(i in 1:M){
 # Control the random number generation so that the experiment is replicable 
 set.seed(i)
 # Generate one draw of a normal random variable with a given mean and standard deviation
 x=rnorm(n=1,mean=mu[i],sd=sd[i])
 # Estimate the lower confidence bound for the population mean
 lower=x-9.68*abs(x)
 # Estimate the upper confidence bound for the population mean
 upper=x+9.68*abs(x)
 # If the true mean is within the confidence interval, count it in
 if( (lower<mu[i]) && (mu[i]<upper) ) count=count+1
}
# Obtain the percentage of cases when the true mean is within the confidence interval
count_pct=count/M
# Print the result
print(count_pct)
[1] 1

Dari satu juta percobaan acak, interval kepercayaan mencakup rata-rata sejuta kali, yaitu selalu . Itu seharusnya tidak terjadi jika interval kepercayaan adalah interval kepercayaan 95% .

Jadi rumusnya sepertinya tidak berfungsi ... Atau sudahkah saya membuat kesalahan pengkodean?

$(\mu, \sigma)=(1000,1)$
$0.950097 \approx 0.95$ $(\mu, \sigma)=(1000,1000)$

— Richard Hardy
sumber

2

μ

$\mu$

μ = 0

$\mu = 0$

2

α

$\alpha$

1 - α

$1-\alpha$

sim <- function(rho, n.iter=1e5, sigma=1, psi=9.68) {   mu <- runif(n.iter, 0, sigma) * rho;   x <- rnorm(n.iter, mu, sigma);   mean(p <- abs(x - mu) <= psi * abs(x)) }; sim(1.75)

2

μ

$\mu$

μ

$\mu$

μ

$\mu$ sim(0.1)

μ

$\mu$

2

P (X - ζ | X | \leq μ \leq X + ζ | X |) \geq 1 - α

$P(X - \zeta |X| \leq \mu \leq X + \zeta |X|) \geq 1 - \alpha$

μ

$\mu$

2

μ

$\mu$

μ = 0

$\mu = 0$

0

Lihat Edelman, D (1990) 'Interval kepercayaan untuk pusat distribusi unimodal yang tidak diketahui berdasarkan ukuran sampel satu' The American Statistician, Vol 44, no 4. Artikel mencakup kasus Normal dan Nonparametrik.

— David Edelman
sumber

3

Selamat datang di Stats.SE. Bisakah Anda mengedit jawaban Anda untuk mengembangkannya, untuk memasukkan poin utama dari buku yang Anda kutip? Akan lebih bermanfaat baik untuk poster asli maupun untuk orang lain yang mencari di situs ini. Omong-omong, ambil kesempatan untuk mengikuti Tur , jika Anda belum melakukannya. Lihat juga beberapa tips tentang Cara Menjawab , tentang memformat bantuan dan menuliskan persamaan menggunakan LaTeX / MathJax .

— Ertxiem - mengembalikan Monica

Selamat datang di situs kami, David. Kontribusi Anda, sebagai penulis artikel itu (yang saya yakin telah dikutip di beberapa utas di sini), sangat dihargai, sehingga setiap perspektif atau komentar yang Anda berikan dalam jawaban ini akan sangat disambut.

— Whuber