Bagaimana saya bisa membandingkan 2 cara yang didistribusikan Laplace?

Saya ingin membandingkan 2 sampel rata-rata untuk pengembalian stok 1 menit. Saya menganggap mereka terdistribusi Laplace (sudah diperiksa) dan saya membagi pengembalian menjadi 2 kelompok. Bagaimana saya dapat mengecek apakah keduanya berbeda secara signifikan?

Saya pikir saya tidak bisa memperlakukan mereka seperti distribusi Normal, karena meskipun mereka lebih dari 300 nilai, plot QQ menunjukkan bahwa ada perbedaan besar pada distribusi Normal

Dengan asumsi kedua distribusi Laplace memiliki varian yang sama,

a) uji rasio kemungkinan akan melibatkan statistik uji seperti:

$\mathcal{L}=\frac{\prod_{i=1}^n \frac{1}{2\hat{\tau}} \exp(-\frac{|x_i-\hat{\mu}|}{\hat{\tau}})}{\prod_{i=1}^{n_1}\frac{1}{2\hat{\tau}_1} \exp(-\frac{|x_i-\hat{\mu}_1|}{\hat{\tau}_1})\cdot \prod_{i=n_1+1}^{n} \frac{1}{2\hat{\tau}_2} \exp(-\frac{|x_i-\hat{\mu}_2|}{\hat{\tau}_2})}$

Mengambil log, membatalkan / menyederhanakan dan mengalikan dengan .$-2$

$\,-2\mathcal{l} = 2(n\log(\hat{\tau})-n_1\log(\hat{\tau}_1)-n_2\log(\hat{\tau}_2))\;\qquad$ (di mana )$\mathcal{l}=\log(\mathcal{L})$

di mana , deviasi absolut rata-rata dari median dalam sampel gabungan dan , deviasi absolut rata-rata dari median dalam sampel . τ i=mi$\hat{\tau}=m$$\hat{\tau}_i=m_i$$i$

Menurut teorema Wilks, ini didistribusikan secara asimptotik sebagai bawah nol, jadi untuk tes 5% Anda akan menolak jika itu melebihi ,.$\chi^2_1$$3.84\,$

Eksperimen simulasi menunjukkan bahwa tes ini antikonservatif pada ukuran sampel kecil (probabilitas penolakan agak lebih tinggi daripada nominal), tetapi sekitar n = 100, tampaknya setidaknya masuk akal (Anda mendapatkan urutan 5,3% - 5,4% tingkat penolakan di bawah nol untuk uji nominal 5%, misalnya; untuk tampaknya lebih dekat ke 5,25%).$n_1,n_2>300$

b) Kami juga berharap bahwa akan menjadi statistik uji yang baik (di mana mewakili sampel median dan ); jika saya belum membuat kesalahan di sana, dalam sampel besar seperti milik Anda itu akan kira-kira terdistribusi normal di bawah nol, dengan rata-rata 0 dan varian 1, di mana dapat didasarkan pada kuadrat dari berarti penyimpangan absolut dari rata-rata dalam sampel gabungan, , meskipun saya perkirakan dalam praktiknya cenderung bekerja lebih baik mendasarkannya pada rata-rata tertimbang sampel dari dua sampel 's . ~μv=2τ2($\frac{\tilde{\mu}_1- \tilde{\mu}_2}{\sqrt{v}}$$\tilde{\mu}$ τ 2m2m 2 i$v=2\hat{\tau}^2(\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2})$$\hat{\tau}^2$$m^2$$m^2_i$$^\dagger$

$\dagger$ (Edit: simulasi menunjukkan perkiraan normal baik-baik saja tetapi perhitungan varians tidak benar di atas; Saya bisa melihat apa masalahnya sekarang tapi saya masih harus memperbaikinya. Versi permutasi dari tes ini (lihat item (c)) harus tetap baik-baik saja).

c) Alternatif lain adalah melakukan tes permutasi berdasarkan salah satu dari statistik di atas. (Salah satu jawaban di sini memberikan garis besar tentang bagaimana menerapkan tes permutasi untuk perbedaan median.)

d) Anda selalu dapat melakukan tes Wilcoxon / Mann-Whitney; itu akan jauh lebih efisien daripada mencoba menggunakan uji-t di Laplace.

e) Lebih baik daripada (d) untuk data Laplace adalah tes median Mood; sementara sering disarankan dalam buku, ketika berhadapan dengan data Laplace itu akan menunjukkan kekuatan yang baik. Saya berharap ini akan memiliki kekuatan yang mirip dengan versi permutasi dari tes asimptotik perbedaan median (salah satu tes yang disebutkan dalam (c)).

Pertanyaannya di sini memberikan implementasi R yang menggunakan uji Fisher, tetapi kode itu dapat diadaptasi untuk menggunakan uji chi-square sebagai gantinya (yang saya sarankan dalam sampel bahkan sedang); atau ada kode contoh untuk itu (bukan sebagai fungsi) di sini .

Tes median dibahas dalam Wikipedia di sini , meskipun tidak mendalam (terjemahan Jerman yang terhubung memiliki sedikit informasi lebih lanjut). Beberapa buku tentang nonparametrik membahasnya.