Mengapa CDF sampel terdistribusi secara seragam

Saya membaca di sini bahwa diberi sampel dari distribusi kontinu dengan cdf , sampel yang sesuai dengan mengikuti distribusi seragam standar. $X_1,X_2,...,X_n$ $F_X$ $U_i = F_X(X_i)$

Saya telah memverifikasi ini menggunakan simulasi kualitatif dengan Python, dan saya dengan mudah dapat memverifikasi hubungan.

import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats

xs = scipy.stats.norm.rvs(5, 2, 10000)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(9, 3))
axes[0].hist(xs, bins=50)
axes[0].set_title("Samples")
axes[1].hist(
    scipy.stats.norm.cdf(xs, 5, 2),
    bins=50
)
axes[1].set_title("CDF(samples)")

Menghasilkan plot berikut:

Plot menunjukkan sampel distribusi normal dan cdf sampel.

Saya tidak dapat memahami mengapa ini terjadi. Saya menganggap itu ada hubungannya dengan definisi CDF dan hubungannya dengan PDF, tapi saya kehilangan sesuatu ...

Saya akan sangat menghargai jika seseorang dapat mengarahkan saya ke beberapa bacaan tentang subjek atau membantu saya mendapatkan beberapa intuisi pada subjek.

EDIT: CDF terlihat seperti ini:

CDF dari distribusi sampel

— Tremlay Maxime
sumber

Hitung cdf dari

F_{X} (X)

$F_X(X)$

— Zhanxiong

Anda akan menemukan bukti properti ini (untuk rv berkelanjutan) dalam buku apa pun tentang simulasi karena ini adalah dasar dari metode simulasi cdf terbalik.

— Xi'an

Coba juga google-ing probability integral transform

— Zachary Blumenfeld

@ Xi'an Baik untuk menunjukkan kesimpulan hanya berlaku untuk variabel acak kontinu. Terkadang hasil ini keliru digunakan untuk variabel acak diskrit. Di sisi lain, perhatikan juga banyak bukti yang melibatkan langkah

yang mengasumsikan monotonitas ketat dari

, yang juga merupakan asumsi yang terlalu kuat. Tautan berikut memberikan ringkasan yang ketat tentang topik ini: people.math.ethz.ch/ ~embrecht

P (F (X) \leq x) = P (X \leq F^{- 1} (x))

$P(F(X) \leq x) = P(X \leq F^{-1}(x))$

F

$F$

— ftp

@Zhanxiong satu-satunya syarat yang diperlukan untuk

adalah càdlàg.

F

$F$

— AdamO

Asumsikan kontinu dan meningkat. Tentukan dan catat bahwa mengambil nilai dalam $F_X$ $Z = F_X(X)$ $Z$ . Kemudian $[0, 1]$

F_{Z} (x) = P (F_{X} (X) \leq x) = P (X \leq F_{X}^{- 1} (x)) = F_{X} (F_{X}^{- 1} (x)) = x .

$F_Z(x) = P(F_X(X) \leq x) = P(X \leq F_X^{-1}(x)) = F_X(F_X^{-1}(x)) = x.$

$U$ $[0, 1]$

F_{U} (x) = \int_{R} f_{U} (u) d u = \int_{0}^{x} d u = x .

$F_U(x) = \int_R f_U(u)\,du =\int_0^x \,du =x.$

$F_Z(x) = F_U(x)$ $x\in[0, 1]$

— Hunaphu
sumber

Apakah itu berarti Z memiliki distribusi seragam (0, 1)?

— StatsSorceress

Z

$Z$

(0, 1) .

$(0,1).$

Secara intuitif, mungkin masuk akal untuk menganggap sebagai fungsi persentil, misalnya $F(x)$ $F(x)$ $F$ $x$ $F^{-1}$ $x = F^{-1}(p)$ $x$ $p$ $F \circ F^{-1} =_\lambda F^{-1} \circ F$

$F$ $a < b$ $P(F^{-1}(a) < x < F^{-1}(b)) = P(a < F(X) < b) = b-a$

— AdamO
sumber

Y = F (X)

$Y = F(X)$