Apakah variabel acak

Bisakah kita mengatakan sesuatu tentang ketergantungan variabel acak dan fungsi variabel acak? Misalnya apakah bergantung pada ?X 2$X^2$$X$

Ini adalah bukti dari komentar @ cardinal dengan sedikit perubahan. Jika $X$ dan $f(X)$ independen maka

$$\begin{array}{lcl} P(X \in A \cap f^{-1}(B)) & = & P(X \in A, f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(X \in f^{-1}(B)) \end{array}$$ Mengambil$A = f^{-1}(B)$menghasilkan persamaan $$P(f(X) \in B) = P(f(X) \in B)^2,$$ yang memiliki dua solusi 0 dan 1. Dengan demikian$P(f(X) \in B) \in \{0, 1\}$ untuk semua$B$ . Secara umum lengkap, tidak mungkin untuk mengatakan lebih banyak. Jika$X$ dan$f(X)$ adalah independen, maka$f(X)$ adalah variabel sedemikian rupa sehingga untuk B apa pun$B$itu dalam$B$ atau dalam$B^c$ dengan probabilitas 1. Untuk mengatakan lebih banyak, seseorang memerlukan asumsi lebih, misalnya singleton menetapkan$\{b\}$ dapat diukur.

Namun, perincian pada tingkat teoretis ukuran tampaknya tidak menjadi perhatian utama OP. Jika $X$ adalah nyata dan $f$ adalah fungsi nyata (dan kami menggunakan Borel $\sigma$ aljabar, katakanlah), kemudian mengambil $B = (-\infty, b]$ maka fungsi distribusi untuk distribusi $f(X)$ hanya mengambil nilai 0 dan 1, maka ada $b$ di mana ia melompat dari $0$ ke $1$ dan $P(f(X) = b) = 1$.

Pada akhirnya, jawaban untuk pertanyaan OP adalah bahwa $X$ dan $f(X)$ umumnya tergantung dan hanya independen dalam keadaan yang sangat khusus. Selain itu, ukuran Dirac $\delta_{f(x)}$ selalu memenuhi syarat untuk distribusi bersyarat $f(X)$ diberikan $X = x$ , yang merupakan cara formal untuk mengatakan bahwa mengetahui $X = x$ maka Anda juga tahu persis apa yang $f(X)$adalah. Bentuk ketergantungan khusus ini dengan distribusi bersyarat yang merosot adalah karakteristik untuk fungsi variabel acak.

Lemma : Misalkan X adalah variabel acak dan misalkan f (fungsi Borel) sehingga X dan f ( X ) independen. Maka f ( X ) konstan hampir pasti. Yaitu, ada beberapa a ∈ R sehingga P ( f ( X ) = a ) = 1 .$X$$f$$X$$f(X)$$f(X)$$a \in \mathbb R$$\mathbb P(f(X) = a) = 1$

Buktinya di bawah ini; tapi, pertama, beberapa komentar. Pengukuran Borel hanyalah kondisi teknis untuk memastikan bahwa kami dapat menetapkan probabilitas dengan cara yang masuk akal dan konsisten. Pernyataan "hampir pasti" juga hanya teknis.

Inti dari lemma adalah bahwa jika kita ingin X dan f ( X ) independen, maka satu-satunya kandidat kita adalah fungsi dari bentuk f ( x ) = a .$X$$f(X)$$f(x) = a$

Bandingkan ini dengan kasus fungsi f sehingga X dan f ( X ) tidak berkorelasi . Ini adalah kondisi yang jauh lebih lemah. Memang, menganggap setiap variabel random X dengan mean nol, hingga saat ketiga mutlak dan yang simetris tentang nol. Ambil f ( x ) = x 2 , seperti pada contoh dalam pertanyaan. Kemudian C o v ( X , f ( X ) ) = E X f $f$$X$$f(X)$$X$$f(x) = x^2$X ) = E X 3 = 0 , jadi X dan f ( X ) = X 2 tidak berkorelasi.$\mathrm{Cov}(X,f(X)) = \mathbb E Xf(X) = \mathbb E X^3 = 0$$X$$f(X) = X^2$

Di bawah ini, saya memberikan bukti paling sederhana yang bisa saya berikan untuk lemma. Saya sudah membuatnya sangat verbose sehingga semua detail sejelas mungkin. Jika ada yang melihat cara untuk meningkatkan atau menyederhanakannya, saya akan senang mengetahui.

Ide pembuktian : Secara intuitif, jika kita tahu X , maka kita tahu f ( X ) . Jadi, kita perlu menemukan beberapa kejadian dalam σ ( X ) , aljabar sigma yang dihasilkan oleh X , yang menghubungkan pengetahuan kita tentang X dengan f ( X ) . Kemudian, kami menggunakan informasi itu bersama dengan asumsi independensi X dan f ( X ) untuk menunjukkan bahwa pilihan kami untuk f telah sangat dibatasi.$X$$f(X)$$\sigma(X)$$X$$X$$f(X)$$X$$f(X)$$f$

Bukti lemma : Ingat bahwa X dan Y independen jika dan hanya jika untuk semua A ∈ σ ( X ) dan B ∈ σ ( Y ) , P ( X ∈ A , Y ∈ B ) = P ( X ∈ A ) P ( Y ∈ B ) . Misalkan Y = f ( X ) untuk beberapa fungsi Borel yang dapat diukur $X$$Y$$A \in \sigma(X)$$B \in \sigma(Y)$$\renewcommand{\Pr}{\mathbb P}\Pr(X \in A, Y \in B) = \Pr(X \in A) \Pr(Y \in B)$$Y = f(X)$$f$ such that $X$ and $Y$ are independent. Define $\newcommand{\o}{\omega}A(y) = \{\o: f(X(\o)) \leq y\}$. Then,

$$A(y) = \{\o: X(\o) \in f^{-1}((-\infty,y])\}$$ and since $(-\infty,y]$ is a Borel set and $f$ is Borel-measurable, then $f^{-1}((-\infty,y])$ is also a Borel set. This implies that $A(y) \in \sigma(X)$ (by definition(!) of $\sigma(X)$).

Since $X$ and $Y$ are assumed independent and $A(y) \in \sigma(X)$, then

$$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(X \in A(y)) \Pr(Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$$ and this holds for all $y \in \mathbb R$. But, by definition of $A(y)$ $$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y, Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \> .$$ Combining these last two, we get that for every $y \in \mathbb R$, $$\Pr(f(X) \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$$ so $\Pr(f(X) \leq y) = 0$ or $\Pr(f(X) \leq y) = 1$. This means there must be some constant $a \in \mathbb R$ such that the distribution function of $f(X)$ jumps from zero to one at $a$. In other words, $f(X) = a$ almost surely.

NB: Note that the converse is also true by an even simpler argument. That is, if $f(X) = a$ almost surely, then $X$ and $f(X)$ are independent.