Mengapa variabel acak "binomial negatif" disebut demikian?

21

Saya tidak mengerti mengapa variabel acak "binomial negatif" memiliki nama itu. Apa yang negatif tentang itu? Apa itu binomial? Apa yang negatif-binomial tentang hal itu?

— Hatshepsut
sumber

2

Lihat juga komentar di bawah pertanyaan yang lebih umum ini - yang benar-benar layak mendapatkan jawaban yang tepat, mea culpa .

— Glen_b -Reinstate Monica

24

Ini merujuk pada fakta bahwa koefisien binomial tertentu yang muncul dalam rumus untuk distribusi itu dapat ditulis lebih sederhana dengan angka negatif.

Ketika Anda melakukan serangkaian percobaan dengan sukses probabilitas , kemungkinan bahwa Anda akan melihat kegagalan setelah persis percobaan adalah $p$ $r$ $k$

${k+r−1}\choose {k}$ $p^k(1−p)^r$ .

Ini juga dapat ditulis sebagai

$(−1)^k$ ${−r}\choose {k}$ $p^k(1−p)^r$

dan kata "negatif" mengacu pada $−r$ dalam koefisien binomial itu. Perhatikan bagaimana rumus ini terlihat seperti rumus untuk distribusi binomial biasa kecuali untuk koefisien tanda itu.

Nama lain untuk distribusi binomial negatif adalah distribusi Pascal sehingga ada juga.

================================================== =======================

Jawaban lebih rinci menurut Wikipedia:

Fungsi massa probabilitas dari distribusi binomial negatif adalah

$f(k; r, p) \equiv \Pr(X = k) = \binom{k+r-1}{k} p^k(1-p)^r \quad\text{for }k = 0, 1, 2, \dotsc$

Di sini kuantitas dalam tanda kurung adalah koefisien binomial, dan sama dengan

$\binom{k+r-1}{k} = \frac{(k+r-1)!}{k!\,(r-1)!} = \frac{(k+r-1)(k+r-2)\dotsm(r)}{k!}$ .

Kuantitas ini dapat juga ditulis dengan cara berikut, menjelaskan nama "binomial negatif":

$\frac{(k+r-1)\dotsm(r)}{k!} = (-1)^k \frac{(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm(-r-k+1)}{k!} = (-1)^k\binom{-r}{k}$ .

3

Saya tidak mengerti pernyataan Anda "Ketika Anda melakukan serangkaian percobaan dengan probabilitas keberhasilan p, kemungkinan bahwa Anda akan melihat kegagalan setelah tepat k percobaan adalah ...". Menurut saya rumusnya adalah . Di mana Anda mendapatkan formula yang Anda daftarkan? Saya menduga mungkin Anda tidak menggambarkan proses acak dengan benar. Apakah maksud Anda probabilitas mendapatkan kegagalan yang tepat setelah melakukan uji coba ? Jika demikian, bukankah seharusnya menjadi ? Apa yang terjadi di sini? Bisakah Anda mendefinisikan acara yang Anda maksud, lebih hati-hati?

(\binom{k}{r}) p^{k - r} (1 - p)^{r}

${k \choose r} p^{k-r} (1-p)^r$

r

$r$

k + r - 1

$k+r-1$

p^{k}

$p^k$

p^{k - 1}

$p^{k-1}$

— DW

@ DW Itu formulasi yang disayangkan. Yang dimaksud, bukan kemungkinan untuk melihat kegagalan mengingat bahwa uji coba telah dilakukan, tetapi kemungkinan membutuhkan uji coba untuk mengamati kegagalan.

r

$r$

k

$k$

k

$k$

r

$r$

— Amuba kata Reinstate Monica

-4

Denizens of StatsExchange, Pertama, kabar baiknya, penulis ini menyalin formula Wikipedia sehingga semuanya baik-baik saja. Deskripsi yang ditulis penulis ini salah. Dia seharusnya menulis probabilitas mendapatkan r kegagalan setelah jejak k + r.
Perhatikan bahwa dalam percobaan k + r-1 pertama ada persisnya kegagalan r-1 dan keberhasilan k. Oleh karena itu rumus dengan benar termasuk (k + r-1 C r-1) p ^ k (1-p) ^ (r-1).
Maka, menurut definisi, uji coba terakhir, yaitu uji coba k + r, harus merupakan kegagalan ke-r. Acara ini independen sehingga kami hanya mengalikan probabilitas 1-p untuk menemukan probabilitas yang dinyatakan.

— Shawn Berry
sumber

Selamat datang di Stats.SE. Ambil kesempatan untuk mengikuti tur ( stats.stackexchange.com/tour ), jika Anda belum melakukannya. Lihat juga beberapa tips memformat bantuan dan menuliskan persamaan menggunakan LaTeX / MathJax .

— Ertxiem - mengembalikan Monica