OLS dalam hal sarana dan ukuran sampel

Diberikan model:

$$y = \beta_0 + \beta_1 \cdot f + u$$

Di mana adalah dummy jika betina dan sebaliknya, y adalah tinggi dalam cm. Ukuran sampel adalah secara total. Selanjutnya dan . Hitung estimasi parameter.$f$$=1$$0$$n_{female}=n_{male}=100 \rightarrow 200$$\bar{y}_{male} = 175$$\bar{y}_{female}=165$

Usaha saya:

Menggunakan rumus well know:

$$\boldsymbol{\hat{\beta}} = (\boldsymbol{X}'\boldsymbol{X})^{-1} \boldsymbol{X}'\boldsymbol{y}$$ Saya mendapatkan: $$\begin{bmatrix} 200 & 100 \\ 100 & 100 \\ \end{bmatrix} ^{-1} \begin{bmatrix} 170 \cdot 200 \\ 165 \cdot 200 \end{bmatrix}$$

Pertama elemen dalam $(\boldsymbol{X}'\boldsymbol{X})^{-1}$ , karena $X$ hanya sekelompok satu, ada 100 perempuan dalam sampel dan ada total 200 pria dan wanita. Untuk $\boldsymbol{X}'\boldsymbol{y}$ , elemen pertama adalah "rata-rata besar" dari 170, dan yang kedua adalah sampel rata-rata tinggi untuk wanita. Keduanya diperkecil 200, karena saya tidak "menurunkan skala" $(\boldsymbol{X}'\boldsymbol{X})^{-1}$ .

Apa itu benar? Saya bertanya, karena solusi (ketika mengalikan) menghasilkan beberapa (sangat) angka ganjil.

Pendekatannya benar, tetapi ada sedikit kesalahan numerik: hanya ada wanita, bukan . Ketinggian rata-rata untuk pria dan wanita dapat dikonversi ke jumlah melalui$100$$200$

$$\text{Sum of male heights} = 100 \times 175$$

dan

$$\text{Sum of female heights} = 100 \times 165.$$

Karena itu jumlah dari semua ketinggian adalah

$$\text{Sum of all heights} = 100 \times 175 + 100\times 165 = 200 \times 170,$$

seperti yang ditunjukkan dalam pertanyaan. Akibatnya persamaan Normal adalah

$$\pmatrix{200 & 100 \\ 100 & 100}\pmatrix{\hat\beta_0 \\ \hat\beta_1} = \pmatrix{200\cdot170 \\ 100 \cdot165}$$

( bukan di sisi kanan), dengan solusi$165\cdot 200$

$$(\hat\beta_0, \hat\beta_1) = (175, -10).$$

Saya cukup bingung. Apa mean? Apakah ini residu? Jika demikian, maka$u$

$\mathbf{X'X}$ =$\begin{bmatrix} 200 & 100 \\ 100 & 100 \end{bmatrix}$

sejak

$\mathbf{X} = \frac{\partial{y}}{\partial\beta} = \left[\begin{array}{cccc|cccc} \frac{\partial{y_1}}{\partial\beta_1} & \frac{\partial{y_2}}{\partial\beta_1} & ... & \frac{\partial{y_{n_f}}}{\partial\beta_1} & \frac{\partial{y_{{n_f}+1}}}{\partial\beta_1} & \frac{\partial{y_{{n_f}+2}}}{\partial\beta_1} & ... & \frac{\partial{y_{n_{{n_f}+{n_m}}}}}{\partial\beta_1} \\ \frac{\partial{y_1}}{\partial\beta_2} & \frac{\partial{y_2}}{\partial\beta_2} & ... & \frac{\partial{y_{n_f}}}{\partial\beta_2} & \frac{\partial{y_{{n_f}+1}}}{\partial\beta_2} & \frac{\partial{y_{{n_f}+2}}}{\partial\beta_2} & ... & \frac{\partial{y_{n_{{n_f}+{n_m}}}}}{\partial\beta_2} \\ \end{array}\right]^T$

=

$\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 1 & ... & 1 & 1 & 1 & ... & 1 \\ 0 & 0 & ... & 0 & 1 & 1 & ... & 1 \\ \end{array}\right]^T$

Beberapa pemikiran:

Dengan persamaan Anda IMHO harus 175 dan = -10. Jadi untuk bagian pria dan wanita Anda mendapatkan:$\beta_1$$\beta_2$

$f_m = 175 (+) -10 \times 0 + u = 175 + u$

$f_f = 175 (+) -10 \times 1 + u = 165 + u$

Karena Anda bisa menggunakannya

$\mathbf{\beta} = \left(X'X\right)^{-1}X^{T}\mathbf{y}$

untuk memecahkan dengan menggunakan Moore-Penrose Pseudoinverse .$\beta$

$\left(\left(X'X\right)^{-1}X^{T}\right)^{+}\beta=\left(\left(X'X\right)^{-1}X^{T}\right)^{+}\begin{bmatrix} 175 \\ -10 \end{bmatrix}=\mathbf{y}$

Sekarang berisi:$\mathbf{y}$

$\mathbf{y} \approx \begin{bmatrix} 165_{f_1} & 165_{f_2} & ... 165_{f_{100}} & 175_{m_1} & 175_{m_2} & ... 175_{m_{100}} \end{bmatrix}^T$

Semoga ini bisa membantu!