Pertimbangkan distribusi yang dua kali dapat dibedakan dan simetris . Sekarang pertimbangkan distribusi berdiferensiasi dua kali kedua condong dalam arti bahwa:F$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Z$

$$(1)\quad\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Z.$$

di mana adalah pemesanan cembung van Zwet [0] sehingga setara dengan: ( 1 $\preceq_c$$(1)$

$$(2)\quad F^{-1}_ZF_X(x)\text{ is convex $\forall x\in\mathbb{R}.$}$$

Pertimbangkan sekarang distribusi yang terdiferensiasi dua kali lipat memuaskan:$\mathcal{F}_Y$

$$(3)\quad\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$$

Pertanyaan saya adalah: bisakah kita selalu menemukan distribusi dan distribusi simetris untuk menulis ulang setiap (ketiganya didefinisikan seperti di atas) dalam hal komposisi dan sebagai:F X F Z F X F$\mathcal{F}_Y$$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Z$$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Y$

$$F_Z(z)=F_YF_X^{-1}F_Y(z)$$

atau tidak?

Edit:

Misalnya, jika adalah Weibull dengan parameter bentuk 3.602349 (sehingga simetris) dan adalah distribusi Weibull dengan parameter bentuk 3/2 (sehingga condong ke kanan), saya mendapatF$\mathcal{F}_X$$\mathcal{F}_Z$

$$\max_z|F_Z(z)-F_YF_X^{-1}F_Y(z)|\approx 0$$

dengan menetapkan sebagai distribusi Weibull dengan parameter bentuk 2.324553. Perhatikan bahwa ketiga distribusi memenuhi:$\mathcal{F}_Y$

$$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z,$$ Sebagaimana diminta. Saya ingin tahu apakah ini benar secara umum (dalam kondisi yang disebutkan).

• [0] van Zwet, WR (1979). Berarti, median, mode II (1979). Statistika Neerlandica. Volume 33, Edisi 1, halaman 1--5.

Tidak!

Contoh tandingan sederhana disediakan oleh distribusi Tukey (kasus khusus untuk dari distribusi Tukey dan ).$g$$h=0$$g$$h$

Misalnya, biarkan menjadi Tukey dengan parameter dan menjadi Tukey dengan parameter dan distribusi Tukey yang mana . Sejak , tesis tiga distribusi ini memenuhi:$\mathcal{F}_X$$g$$g_X=0$$\mathcal{F}_Z$$g$$g_Z>0$$\mathcal{F}_Y$$g$$g_Y\leq g_Z$$h=0$

$$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$$

(yang pertama berasal dari definisi Tukey yang simetris jika , yang berikutnya dari [0], Teorema 2.1 (i)).$g$$g=0$

Misalnya, untuk , kami memilikinya:$g_Z=0.5$

$$\min_{g_Y\leq g_Z}\max_z|F_Z(z)-F_YF^{-1}_XF_Y(z)|\approx0.005>0$$

(untuk beberapa alasan, minimum tampaknya selalu dekat ).$g_Y\approx g_Z/2$

• [0] HL MacGillivray Bentuk properti dari keluarga g-and-h dan Johnson. Comm. Statist. — Theory Methods, 21 (5) (1992), hlm. 1233-1250

---

Edit:

Dalam kasus Weibull, klaim tersebut benar:

Biarkan menjadi distribusi Weibull dengan parameter bentuk (parameter skala tidak memengaruhi pemesanan cembung sehingga kami dapat mengaturnya menjadi 1 tanpa kehilangan keumuman). Demikian juga , dan dan .$\mathcal{F}_Z$$w_Z$$\mathcal{F}_Y$$\mathcal{F}_X$$w_Y$$w_X$

Catatan pertama bahwa setiap tiga distribusi Weibull selalu dapat dipesan dalam arti [0].

Selanjutnya, perhatikan bahwa:

$$\mathcal{F}_X=\mathcal{F}_{-X}\implies w_X=3.602349.$$

Sekarang, untuk Weibull:

$$F_Y(y)=1-\exp((-y)^{w_Y}),\;F_Y^{-1}(q)=(-\ln(1-q))^{1/w_Y},$$

maka

$$F_YF_X^{-1}F_Y(z)=1-\exp(-z^{w_Y^2/w_X}),$$

sejak

$$F_Z(z)=1-\exp(-z^{w_Z}).$$

Oleh karena itu, klaim selalu dapat dipenuhi dengan menetapkan .$w_Y=\sqrt{w_Z/w_X}$

• [0] van Zwet, WR (1979). Berarti, median, mode II (1979). Statistika Neerlandica. Volume 33, Edisi 1, halaman 1--5.
• [1] Groeneveld, RA (1985). Kecenderungan untuk keluarga weibull. Statistika Neerlandica. Volume 40, Edisi 3, halaman 135–140.