Paradoks penyihir prestise

Anda mungkin tahu triknya di film The Prestige :

[FILM SPOILER] Seorang pesulap telah menemukan trik sulap yang mengesankan: dia masuk ke mesin, menutup pintu, dan kemudian menghilang dan muncul kembali di sisi lain ruangan. Tetapi mesin itu tidak sempurna: alih-alih hanya memindahkannya, itu menduplikasinya. Pesulap tetap di tempatnya, dan salinannya dibuat di sisi lain ruangan. Kemudian, pesulap di mesin jatuh diam-diam dalam tangki air di bawah lantai dan tenggelam. Sunting: Kemungkinan salinan baru dari pesulap yang tenggelam adalah 1/2 (dengan kata lain, salinan baru memiliki 1/2 kemungkinan tenggelam, dan 1/2 peluang muncul di ruangan). Juga, tangki air tidak pernah gagal dan kemungkinannya adalah 1 bahwa penyihir yang jatuh di dalam tangki mati.

Jadi penyihir tidak begitu suka melakukan trik ini, karena "Anda tidak pernah tahu di mana Anda akan berada, di sisi lain ruangan atau tenggelam".

Sekarang, paradoksnya adalah sebagai berikut: Bayangkan penyihir melakukan trik 100 kali. Apa peluangnya untuk selamat?

Sunting, pertanyaan tambahan: Bagaimana kemungkinan penyihir mempertahankan otak fisiknya dan tidak memiliki yang baru?

Analisis cepat: Satu tangan, ada satu penyihir yang masih hidup, dan 100 penyihir yang tenggelam, jadi peluangnya adalah 1 dari 100.

Di sisi lain, setiap kali dia melakukan trik, dia memiliki 1/2 peluang untuk tetap hidup, jadi peluangnya adalah untuk tetap hidup. $(1/2)^{100}=1/(2^{100})$

Apa tanggapan yang benar dan mengapa?

probability

— Benjamin Crouzier
sumber

Aku maju bersama G.Jay pertanyaan rumit itu adalah siapa sebenarnya "penyihir" itu. Saya pikir ini kurang statistik daripada pertanyaan filosofis;).

— steffen

@steffen Demi membuat sesuatu yang berguna dari pertanyaan yang diakui aneh, bayangkan bahwa setiap kali klon memiliki "H" yang secara permanen tertera di dahinya. Kita bisa bertanya, lalu, apa kemungkinan bahwa setelah melakukan trik ini 100 kali, si penyihir masih tidak menanggung "H"? Dalam hal ini, 100 salinannya telah dibuat dan setiap salinan telah mati. Satu belum hidup.

— whuber

@whuber: Pertanyaannya, seperti yang dijelaskan, menyatakan bahwa klon adalah yang bisa bertahan, sedangkan yang masuk ke mesin (yang asli pada iterasi pertama) akan mati 100% dari waktu. Setelah pertama kali tindakan ini dilakukan, yang asli sudah mati. Saya belum pernah mendengar tentang paradoks ini sebelumnya, jadi mungkin pertanyaannya salah?

— Izkata

Anda harus menambahkan peringatan spoiler di bagian atas.

— Frank Meulenaar

Inilah pertanyaan sampingan yang menarik: Setelah 100 pertunjukan, pesulap akan memiliki ingatan telah bertahan 100 kali dan tidak mati beberapa kali. Sebagai seorang Bayesian, bagaimana ia harus menilai peluangnya untuk bertahan di waktu berikutnya? :-). (Saya mengajukan pertanyaan yang tampaknya terkait di The Sleeping Beauty Paradox .) Saya dapat menarik paralel yang mencolok antara situasi ini dan situasi para penyihir bisnis dan keuangan yang sibuk menjalankan bank dan perusahaan ke tanah hari ini, dengan alasan bahwa mereka - seperti penyihir --adalah selamat hanya beruntung. Tetapi saya tidak akan melakukan itu.

— whuber

Jawaban:

Kesalahan ini dimasukkan dalam bukti dalam percakapan tertulis antara Fermat, Pascal, dan ahli matematika Prancis terkemuka pada 1654 ketika dua mantan mempertimbangkan "masalah poin." Contoh sederhana adalah ini:

Dua orang bertaruh pada hasil dua lemparan koin yang adil. Pemain A menang jika salah satu flip adalah kepala; jika tidak, Pemain B menang. Apa peluang pemain B untuk menang?

Argumen palsu dimulai dengan memeriksa serangkaian hasil yang mungkin, yang dapat kami sebutkan:

H : Balik pertama adalah kepala. Pemain A menang.
TH : Hanya flip kedua adalah kepala. Pemain A menang.
TT : Tidak ada flip adalah kepala. Pemain B menang.

Karena Pemain A memiliki dua peluang untuk menang dan B hanya memiliki satu peluang, peluang yang mendukung B adalah (menurut argumen ini) 1: 2; artinya, peluang B 1/3. Di antara mereka yang membela argumen ini adalah Gilles Personne de Roberval , anggota pendiri Akademi Ilmu Pengetahuan Prancis.

Kesalahan itu jelas bagi kita hari ini, karena kita telah dididik oleh orang-orang yang belajar dari diskusi ini. Fermat berpendapat (dengan benar, tetapi tidak terlalu meyakinkan) bahwa case (1) benar-benar harus dianggap dua kasus, seolah-olah permainan telah dimainkan melalui kedua flip tidak peduli apa pun yang terjadi. Memunculkan urutan hipotetis yang tidak benar-benar dimainkan membuat banyak orang gelisah. Saat ini kita mungkin menemukan itu lebih meyakinkan hanya untuk mengetahui probabilitas masing-masing kasus: peluang (1) adalah 1/2 dan peluang (2) dan (3) masing-masing 1/4, di mana peluang bahwa A menang sama dengan 1/2 + 1/4 = 3/4 dan peluang bahwa B menang adalah 1/4. Perhitungan ini mengandalkan aksioma probabilitas, yang akhirnya diselesaikan pada awal abad ke-20, tetapi pada dasarnya didirikan pada musim gugur tahun 1654 oleh Pascal dan Fermat dan dipopulerkan di seluruh Eropa tiga tahun kemudian oleh Christian Huyghens dalam risalah singkat tentang probabilitas (yang pertama pernah diterbitkan), De ratiociniis in ludo aleae (menghitung dalam permainan kebetulan).

Pertanyaan ini dapat dimodelkan sebagai 100 koin terbalik, dengan kepala mewakili kematian dan ekor mewakili kelangsungan hidup. Argumen untuk "1 dalam 100" (yang seharusnya adalah 1/101, omong-omong) memiliki kelemahan yang persis sama.

— whuber
sumber

@whuber mereka benar-benar harus memiliki tombol +7.

Di satu sisi, ada satu penyihir yang masih hidup, dan 100 penyihir yang tenggelam, jadi peluangnya adalah 1 dari 100.

Alasan itu secara implisit mengasumsikan bahwa setiap pesulap kemungkinan besar adalah orang yang bertahan pada akhir proses. Namun, hanya yang asli yang harus menanggung semua 100 uji coba, dan ia akan memiliki peluang terburuk. Bandingkan yang asli dengan klon terakhir yang dibuat; dia hanya perlu bertahan satu kali dan dia memiliki peluang 1 banding 2 untuk menjadi satu-satunya yang selamat.

Berpura-pura bahwa alih-alih klon kita berhadapan dengan turnamen eliminasi tunggal (seperti turnamen bola basket NCAA yang terkenal setiap bulan Maret). Asli harus berlangsung 100 putaran sedangkan klon terakhir hanya harus bermain di final turnamen. Tidak semua klon memiliki kemungkinan yang sama untuk bertahan hingga akhir, dan yang asli memiliki peluang terburuk dari . $\frac{1}{2^{100}}$

— Michael McGowan
sumber

Probabilitas dia bertahan adalah 1 pada setiap percobaan, dan probabilitas adalah 1 bahwa dia mati pada setiap percobaan (terlepas dari kegagalan tangki air). Setelah duplikasi, tidak ada "dia" lagi; ada "hims".

BTW: jika duplikasi tidak sempurna maka pada setiap percobaan (diberi tangki tepercaya) dan pada setiap percobaan (meskipun memicu-bahagia anggota audiens).

P (d i e s) = 1

$P(\mathrm{dies}) = 1$

P (i m p e r f e c t c l o n e s u r v i v e s) = 1

$P(\mathrm{imperfect\ clone\ survives}) = 1$

BBTW: jika mesin duplikat secara tidak sempurna dan secara acak memilih satu untuk diteleportasikan (membiarkan yang lain tenggelam) maka Anda akan memerlukan lebih banyak info / asumsi tentang pemilihan acak.

@ Jay: Diedit pertanyaan saya tentang teleportasi

— Benjamin Crouzier

Terima kasih. Anda membahas teleportasi tetapi Anda belum memastikan apakah duplikasi itu sempurna atau tidak. Jika duplikasi sempurna, maka jawaban saya tetap sama (lihat komentar @ steffen). Jika duplikasi tidak sempurna (seperti apa yang Anda cari) maka jawabannya adalah sesuai paragraf terakhir dari jawaban whuber, dan jawaban lainnya salah karena alasan whuber dan Michael menjelaskan.

1 / 2^{100}

$1/2^{100}$

@ downvoter - idenya adalah untuk menulis mengapa Anda downvote sehingga jawaban meningkat seiring waktu.