Akankah fakta bahwa putra Italia saya akan menghadiri sekolah dasar mengubah jumlah anak-anak Italia yang diharapkan untuk hadir di kelasnya?

37

Ini adalah pertanyaan yang berasal dari situasi kehidupan nyata, yang mana saya benar-benar bingung dengan jawabannya.

Anak saya akan memulai sekolah dasar di London. Karena kami orang Italia, saya ingin tahu berapa banyak anak Italia yang sudah bersekolah. Saya menanyakan hal ini kepada Admission Officer saat melamar, dan dia memberi tahu saya bahwa mereka rata-rata memiliki 2 anak Italia per kelas (30).

Saya sekarang pada titik di mana saya tahu bahwa anak saya telah diterima, tetapi saya tidak memiliki informasi lain tentang anak-anak lain. Kriteria penerimaan didasarkan pada jarak, tetapi untuk tujuan pertanyaan ini, saya percaya kita bisa berasumsi itu didasarkan pada alokasi acak dari sampel pelamar yang besar.

Berapa banyak anak Italia yang diharapkan berada di kelas putra saya? Apakah akan lebih dekat ke 2 atau 3?

probability self-study average

— user90213
sumber

39

Ini mengingatkan saya pada lelucon lama, "Saya selalu membawa bom ketika saya bepergian, karena apa kemungkinan dua orang memiliki bom di pesawat yang sama?"

— Bill the Lizard

2

Bahwa Admission Officer memberi tahu Anda bahwa mereka rata-rata memiliki 2 anak Italia per kelas membuat data ini 'mencurigakan' bagi saya. Jika itu berasal dari perhitungan nyata Anda akan mengharapkan angka tidak bulat. Jadi ada kemungkinan bahwa nilai sebenarnya adalah 1,51 atau 2,49, katakanlah. Juga karena Petugas Penerimaan lebih cenderung mencoba untuk 'menyenangkan Anda' dengan jawaban mereka, mereka mungkin telah mengumpulkan daripada turun (jika mereka berpikir Anda akan senang memiliki anak Anda di antara orang Italia lainnya), menunjukkan bahwa kemungkinan distribusi lebih dari nilai di dekat 2 tidak akan simetris. Jawaban di bawah ini dapat diadaptasi.

— PatrickT

4

@PatrickT "Mode" adalah jenis rata-rata yang valid.

— Ian Ringrose

1

Terima kasih banyak kawan atas tanggapannya. Saya sekarang juga memposting pertanyaan serupa, tetapi dengan framing yang berbeda ( stats.stackexchange.com/questions/173969/… ), yang telah dipicu oleh beberapa masukan / jawaban Anda.

— user90213

1

@ Patrick Saya pikir ada jauh lebih banyak orang berpendidikan rendah yang akan bingung dengan 1,5 ("Bagaimana Anda memiliki setengah anak?") Dari statistik kutu buku kesal tentang pembulatan berlebihan tampaknya lebih mungkin bagi saya. (Dengan asumsi angka yang lebih tepat sebenarnya bukan 1.9 atau 2.1.)

— Dan Neely

27

Seperti biasa Anda perlu mempertimbangkan model probabilistik yang menggambarkan bagaimana sekolah mendistribusikan anak-anak di antara kelas-kelas. Kemungkinan:

Sekolah memastikan bahwa semua kelas memiliki jumlah warga negara asing yang sama.
Sekolah itu bahkan berusaha memastikan bahwa setiap kebangsaan diwakili kira-kira sama di setiap kelas.
Sekolah sama sekali tidak mempertimbangkan kewarganegaraan dan hanya mendistribusikan secara acak atau berdasarkan kriteria lainnya.

Semua ini masuk akal. Strategi yang diberikan 2 jawaban atas pertanyaan Anda adalah tidak. Ketika mereka menggunakan strategi 3, harapan akan mendekati 3, tetapi sedikit lebih kecil. Itu karena putra Anda mengambil "slot", dan Anda memiliki satu kesempatan lebih sedikit untuk bahasa Italia acak.

Ketika sekolah menggunakan strategi 1 harapan juga naik; berapa banyak tergantung pada jumlah warga negara asing per kelas.

Tanpa mengetahui sekolah Anda, tidak ada cara untuk menjawab ini dengan lebih sempurna. Jika Anda hanya memiliki satu kelas per tahun dan kriteria penerimaan seperti yang dijelaskan jawabannya akan sama dengan untuk 3 di atas.

Menghitung 3 secara detail:

E (X) = 1 + E (B (29, 2 / 30)) = 1 + 1.9333 = 2.9333.

$E(X) = 1 + E(B(29, 2/30)) = 1 + 1.9333 = 2.9333.$

X adalah jumlah anak Italia di kelas. Angka 1 berasal dari anak yang dikenal, 29 adalah anggota kelas lainnya dan 2/30 adalah probabilitas untuk anak yang tidak dikenal menjadi orang Italia mengingat apa yang dikatakan sekolah. B adalah distribusi binomial.

Perhatikan bahwa mulai dengan tidak memberikan jawaban yang tepat, karena mengetahui bahwa anak tertentu adalah orang Italia melanggar nilai tukar yang diasumsikan oleh distribusi binomial. Bandingkan ini dengan paradoks laki - laki atau perempuan , di mana ada bedanya apakah Anda tahu bahwa satu anak adalah perempuan vs mengetahui bahwa anak yang lebih besar adalah perempuan. $E(X|X\geq1)$

— Erik
sumber

2

Mari kita membuat asumsi binomial dan biarkan

. Tampaknya pilihan antara

dan

n = 30

$n=30$

E (X \sim B (30, 2 / 30) | X \geq 1)

$E(X\sim B(30,2/30)|X\ge1)$

E (B (29, 2 / 30))

$E(B(29,2/30))$ dapat bergantung pada asumsi. Misalnya, jika saya berasumsi bahwa ayah Italia mana pun di London sangat mungkin sama bingungnya dengan @ user90213 dan kemudian akan mengirim pertanyaan di sini, kemudian melihat pertanyaan yang satu ini tidak banyak mengubah harapan saya. Saya hanya belajar bahwa satu anak adalah orang Italia dan akan menghitung

. Apakah itu yang Anda sebut "pertukaran"? Jika di sisi lain user90213 adalah teman dekat saya dan saya tahu putranya, maka saya akan tiba untuk jawaban Anda.

E (X | X \geq 1)

$E(X|X\ge1)$

— Amoeba berkata Reinstate Monica

2

E (X | X > 1)

$E(X|X>1)$

Itu benar, terima kasih Erik. Yang saya maksudkan di komentar sebelumnya adalah sesuatu yang mirip dengan contoh email Anda. Jika saya berasumsi bahwa semua orang tua Italia di kelas akan mengirim pertanyaan di sini, maka melihat pertanyaan ini persis seperti dihubungi oleh anak Italia tertua. Tampaknya kami umumnya sepakat, +1. Tautan wiki memang menarik.

— Amuba kata Reinstate Monica

(+1) Tetapi bingung mengapa Anda mengatakan "Jika Anda hanya memiliki satu kelas per tahun [...]".

— Scortchi

@Scortchi Jika sekolah hanya memiliki satu kelas per tahun, maka ia dapat menggunakan dua strategi dalam denominasi 1 dan 2, karena setiap anak yang diterima di sekolah tahun ini berakhir di kelas yang sama.

— Erik

13

$2/30$ $1/15$

Mengingat bahwa kita tahu bahwa salah satu dari 30 adalah Italia, kita hanya perlu menghitung probabilitas untuk anak-anak yang tersisa:

29 \cdot 1 / 15 = 29 / 15 = 1.933 \dots

$29 \cdot 1/15 = 29/15 = 1.933\ldots$

Jadi, mengetahui bahwa anak Anda adalah Italia mengubah jumlah anak Italia yang diharapkan di kelas menjadi sekitar 2,933, yang jauh lebih dekat dengan 3 dari 2.

— Thomas Cleberg
sumber

5

Inilah pemikiran saya tentang cara mendekati ini:

$S_n$ $n$ $X$ $X$ $n+1$ $\mathbb E(S_n + X) = \mathbb E(S_n) + \mathbb E(X) = \mathbb E(S_n) + \mathbb P(X = 1)$ $X$ $X = 1$

— jld
sumber

1

n + 1

$n+1$

Iya nih. Apakah ada sesuatu yang saya lewatkan terkait dengan itu?

— jld

1

Tergantung bagaimana Anda membaca pertanyaan. Misalkan kelas terdiri dari 30 anak-anak.

— Scortchi

1

Mungkin saya salah paham pertanyaannya. Saya pikir itu bertanya tentang bagaimana penambahan anak Italia yang dikenal mengubah harapan.

— jld

1

Itu poin yang sangat baik tentang ukuran kelas yang mungkin dibatasi

— jld

1

$\mathrm{Binom}(30, 2/30)$ $\mathbb{E}(X|X\geq1)$ $X\sim \mathrm{Binom}(30, 2/30)$ $2.28$

E [X | X \geq 1] = \sum_{i = 0}^{30} i P (X = i | X \geq 1) = \sum_{0}^{30} i \cdot \frac{P (X = i, X \geq 1)}{P (X \geq 1)} = \sum_{1}^{30} i \cdot \frac{P (i)}{1 - P (0)}

$E[X|X\geq1]=\sum_{i=0}^{30}iP(X=i|X\geq1)=\sum_0^{30}i\cdot \frac{P(X=i, X\geq1)}{P(X\geq1)}=\sum_1^{30}i\cdot \frac{P(i)}{1-P(0)}$

(perhatikan perubahan penjumlahan batas bawah pada langkah terakhir)

— jf328
sumber

1

Bisakah Anda menguraikan harapan bersyarat?

— Antoni Parellada

3

Jawaban Anda salah. Cara yang tepat untuk menghitung ini adalah sebagai 1 (anak yang dikenal) + E (B (29, 2/30)) yang ternyata sebesar 2,9333. Dan asumsi distribusi binomial dipertanyakan.

— Erik

Satu hal lagi yang ingin saya tunjukkan: a) perhitungan Anda dari harapan bersyarat itu salah. Tetapi b) yang lebih penting, memulai dengan harapan bersyarat Anda tidak benar. Mengetahui bahwa seorang anak tertentu adalah orang Italia mematahkan pertukaran yang diasumsikan oleh distribusi binormal. Ini sangat mirip dengan paradoks laki-laki ( en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_paradox ) di mana ada bedanya apakah Anda tahu bahwa anak yang lebih besar adalah perempuan atau tahu bahwa salah satu dari dua anak itu adalah perempuan.

— Erik

Gores komentar a) dari atas. Tetapi b) lebih serius;)

— Erik

Saya setuju. Untuk OP, distribusinya tidak lagi binomial (30, 2/30), tetapi memang 1 + binomial (29, 2/30)

— jf328

-3

Tidak. Pengetahuan Anda tentang acara yang akan datang tidak mengubah apa pun tentang pengalaman khas sekolah.

— Pasar
sumber

2

-1. Ini tidak benar, seperti yang dijelaskan secara terperinci dalam jawaban dan komentar lain di sini.

— Amuba kata Reinstate Monica

maafkan kurangnya matematika tingkat lanjut saya, tetapi apa yang membuat anak lelaki ini BUKAN salah satu dari anak-anak 'biasanya 2'? .. sedemikian rupa sehingga kita berakhir lebih dekat ke 3.

— Mart

Lihat stats.stackexchange.com/questions/173844/#comment328621_173844

— amoeba mengatakan Reinstate Monica

Mart: Bayangkan saya melemparkan koin sepuluh kali dan menghitung kepala; tidak ada yang aneh tentang koin atau cara saya melemparkannya. Saya mengulangi percobaan itu berkali-kali, dan rata-rata saya melihat hampir tepat 5 kepala dalam sepuluh lemparan; yang hasilnya Anda lihat (1000 kali lemparan, 50,3% di antaranya adalah kepala, baik dalam variasi yang diharapkan untuk prosedur melempar koin yang adil; kami memutuskan setuju bahwa proses tersebut tampaknya setidaknya secara praktis adil). Sekarang saya melakukan percobaan satu kali tambahan dengan Anda, dan Anda melihat bahwa 4 lemparan pertama semua kepala. Berapa jumlah kepala yang diharapkan dalam set lengkap sepuluh lemparan? 5? lebih?

— Glen_b -Reinstate Monica

Perhatikan bahwa dengan argumen Anda sebelumnya, empat yang pertama "bisa saja empat dari lima yang diharapkan". Tapi kemudian Anda akan mengatakan bahwa ada peluang kurang dari 50% pada enam lemparan berikutnya (sebenarnya Anda mengatakan hanya ada peluang 1/6 rata-rata). Bagaimana koin itu bisa diketahui lebih jarang muncul?

— Glen_b -Reinstate Monica