Bagaimana cara menghitung probabilitas hasil dari mekanik dadu bergulir yang berbelit-belit ini?

Pertanyaan ini menanyakan tentang kemungkinan keberhasilan dalam Permainan Bermain Peran. Namun, pertanyaannya, dan jawabannya tidak mencakup beberapa kompleksitas mekanika dadu. Secara khusus, itu tidak mencakup kerusakan (satu kemungkinan hasil) sama sekali.

Seorang pemain memiliki kolam dadu, berdasarkan pada beberapa mekanik dalam permainan yang tidak relevan dengan pertanyaan ini. Kolam dadu adalah jumlah variabel dadu yang dapat digulung pemain. Ada aturan tentang berapa banyak dadu yang dapat digulung pemain, tetapi itu tidak relevan dengan pertanyaan ini. Hal ini dapat sejumlah dadu dari 1 (satu mati) menjadi sekitar 15. Saya menyebut ini P .

Dadu memiliki 10 sisi berlabel 1 hingga 10 inklusif (Disebut 'd10' dalam terminologi domain kami)

Saat menggulirkan dadu, ada nomor target, atau nomor kesulitan. Bagaimana angka ini dihasilkan berada di luar cakupan pertanyaan ini, tetapi jumlahnya bisa antara 3 dan 9 inklusif. Aturan tentang ini dijelaskan di bawah ini. Saya menyebut ini T .

Ketika semua dadu digulung, ada beberapa aturan untuk menentukan hasilnya:

• Mati apa pun yang sama atau lebih besar dari T dihitung sebagai keberhasilan
• Setiap mati sama dengan 1 dikurangi dari kesuksesan

Seperti yang...

• Jika, setelah dikurangi (jika berlaku), tidak ada die yang tersisa lebih besar dari atau sama dengan T, maka hasilnya adalah kegagalan.
• Jika, setelah dikurangi (jika berlaku), setidaknya ada satu die yang tersisa lebih besar dari atau sama dengan T, maka hasilnya adalah sukses.
• Jika tidak ada die roll yang lebih besar dari atau sama dengan T, dan setidaknya satu die adalah 1, maka itu adalah botch

Untuk target P pool dan T yang diberikan, bagaimana Anda menghitung probabilitas keberhasilan, kegagalan, atau kegagalan dalam sistem ini?

Saya harus menangani ini secara bertahap jika waktu mengizinkan. Saya berharap seseorang akan memberikan pendekatan yang lengkap (dan mungkin lebih sederhana) sebelum saya selesai.

Pertama, mari kita lihat botch.

Aku akan mengabaikan beberapa notasi dan memanggil nomor dadu .$n$

Jika tidak ada die roll yang lebih besar dari atau sama dengan T, dan setidaknya satu die adalah 1, maka itu adalah botch

Pertama pertimbangkan$P(\text{no dice }\geq T) = (\frac{T-1}{10})^n$

Sekarang pertimbangkan$P(\text{no } 1| \text{no dice }\geq T) = (\frac{T-2}{T-1})^n$

Jadi$P(\text{botch}) = [1- (\frac{T-2}{T-1})^n]\cdot (\frac{T-1}{10})^n$

$\hspace{2cm} = \frac{(T-1)^n-(T-2)^n}{10^n}$

(dengan asumsi saya tidak membuat kesalahan)

Kedua, distribusi jumlah keberhasilan individu-mati setelah pengurangan dapat ditangani dengan metode di posting ini . Namun, Anda tampaknya mengejar (yaitu keseluruhan roll berhasil) yang saya pikir mungkin setuju dengan pendekatan yang relatif lebih sederhana (meskipun mereka mungkin melibatkan lebih banyak pekerjaan di akhir). Saya akan melihat edit berikutnya.$P(\text{at least one success in total})$