Dengan n r.v yang didistribusikan secara seragam, berapakah PDF untuk satu rv dibagi dengan jumlah semua n r.v?

10

Saya tertarik pada jenis kasus berikut: ada variabel acak kontinu 'n' yang harus berjumlah 1. Apa yang akan menjadi PDF untuk setiap variabel tersebut? Jadi, jika , maka saya tertarik pada distribusi untuk , di mana , dan semuanya didistribusikan secara seragam. Rata-rata tentu saja, dalam contoh ini, adalah , karena rata-rata hanya , dan meskipun mudah untuk mensimulasikan distribusi dalam R, saya tidak tahu apa persamaan sebenarnya untuk PDF atau CDF. $n=3$ $\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3}$ $X_1, X_2$ $X_3$ $1/3$ $1/n$

Situasi ini terkait dengan distribusi Irwin-Hall ( https://en.wikipedia.org/wiki/Irwin%E2%80%93Hall_distribution ). Hanya Irwin-Hall adalah distribusi dari jumlah n variabel acak seragam, sedangkan saya ingin distribusi untuk salah satu dari n seragam rv dibagi dengan jumlah semua n variabel. Terima kasih.

uniform

— pengguna3593717
sumber

1

Jika variabel acak seragam terus menerus berjumlah , maka dengan , dan distribusi sama dengan distribusi , kan?

n

$n$

1

$1$

n = 3

$n=3$

X_{1} + X_{2} + X_{3} = 1

$X_1+X_2+X_3 = 1$

\frac{X_{1}}{X_{1} + X_{2} + X_{3}} = X_{1}

$\frac{X_1}{X_1+X_2+X_3} = X_1$

X_{1}

$X_1$

— Dilip Sarwate

1

Saya harus mengoreksi diri saya sendiri: distribusi seragam N tidak menjumlahkan ke 1. Saya mengasumsikan mereka masing-masing seragam antara 0 dan 1, dan jumlah mereka bisa apa saja dari 0 hingga N. Saya berpikir untuk mengambil masing-masing variabel seragam dan membagi itu dengan menjumlahkan semua variabel seragam N untuk mendapatkan satu set variabel acak N yang berjumlah 1 dan memiliki nilai yang diharapkan 1 / N. Catatan: Saya menghapus kata 'seragam' dari kalimat pertama saya. Distribusi yang saya cari tidak seragam, tetapi berasal dari membagi salah satu variabel seragam N dengan jumlah semua variabel seragam N, entah bagaimana. Saya tidak yakin bagaimana caranya.

— user3593717

Di mana didistribusikan secara eksponensial, vektor variabel yang dinormalisasi memiliki distribusi Dirichlet. Ini mungkin menarik dalam dirinya sendiri, tetapi melihat ke dalam mungkin juga memberikan taktik untuk situasi semacam ini.

X_{i}

$X_i$

— dugaan

4

Breakpoints dalam domain membuatnya agak berantakan. Pendekatan yang sederhana namun membosankan adalah membangun hingga hasil akhir. Untuk misalkan dan Lalu $n=3,$ $Y=X_2 + X_3,$ $W = {{X_2 + X_3} \over X_1},$ $T = 1 + W.$ $Z = {{1} \over {T}}={{X_1} \over {X_1 + X_2 + X_3}}.$

Breakpoint berada pada 1 untuk 1 dan 2 untuk 2 dan 3 untuk dan dan untuk Saya menemukan pdf lengkap menjadi $Y,$ $W,$ $T,$ $1/3$ $1/2$ $Z.$

f (z) = {\begin{cases} \frac{1}{(1 - z)^{2}}, & if 0 \leq z \leq 1 / 3 \\ \frac{3 z^{3} - 9 z^{2} + 6 z - 1}{3 z^{3} (1 - z)^{2}}, & if 1 / 3 \leq z \leq 1 / 2 \\ \frac{1 - z}{3 z^{3}}, & if 1 / 2 \leq z \leq 1 \end{cases}

$f(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ {{1} \over {(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{3z^3-9z^2+6z-1} \over {3z^3(1-z)^2}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ {{1-z} \over {3z^3}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$

Cdf tersebut kemudian dapat ditemukan sebagai

F (z) = {\begin{cases} \frac{z}{(1 - z)}, & if 0 \leq z \leq 1 / 3 \\ \frac{1}{2} + \frac{- 18 z^{3} + 24 z^{2} - 9 z + 1}{6 z^{2} (1 - z)}, & if 1 / 3 \leq z \leq 1 / 2 \\ \frac{5}{6} + \frac{2 z - 1}{6 z^{2}}, & if 1 / 2 \leq z \leq 1 \end{cases}

$F(z) = \begin{cases} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {{z} \over {(1-z)}} \ , & \text{if} \ {0} \leq z \leq {1/3} \\\\ {{1} \over {2}}+{{-18z^3+24z^2-9z+1} \over {6z^2(1-z)}} \ , & \text{if} \ {1/3} \leq z \leq {1/2} \\\\ \ \ \ \ \ \ \ \ {{5} \over {6}} + {{2z-1} \over {6z^2}} \ , & \text{if} \ {1/2} \leq z \leq {1} \end{cases}$

— soakley
sumber

+1 Bagus. Juga, kepadatan Anda sangat cocok dengan simulasi.

— Glen_b -Reinstate Monica

2

Biarkan . Kita dapat menemukan cdf dari dengan menghitung Kami kemudian membedakan dan mengganti pdf Irwin-Hall untuk mendapatkan pdf yang diinginkan: $Y=\sum_{i=2}^n X_i$ $X_1/\sum_{i=1}^n X_i$

\begin{aligned} P (\frac{X_{1}}{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}} \leq t) & = P (X_{1} \leq t \sum_{i = 1}^{n} X_{i}) \\ = P ((1 - t) X_{1} \leq t \sum_{i = 2}^{n} X_{i}) \\ = P (X_{1} \leq \frac{t}{1 - t} Y) \\ = \int_{0}^{1} P (x_{1} \leq \frac{t}{1 - t} Y) d x_{1} \\ = \int_{0}^{1} (1 - F_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1})) d x_{1} \\ = 1 - \int_{0}^{1} F_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1}) d x_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} P(\frac{X_1}{\sum_{i=1}^n X_i} \leq t) &= P(X_1 \leq t\sum_{i=1}^n X_i) \\ &= P((1-t)X_1 \leq t\sum_{i=2}^n X_i) \\ &= P(X_1 \leq \frac t{1-t}Y)\\ &= \int_0^1 P(x_1 \leq \frac t{1-t}Y)\ dx_1\\ &= \int_0^1 (1-F_Y(\frac{1-t}{t}x_1))\ dx_1\\ &= 1-\int_0^1 F_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\ dx_1\\ \end{align*}$

\begin{aligned} f (t) & = \int_{0}^{1} f_{Y} (\frac{1 - t}{t} x_{1}) \cdot \frac{x_{1}}{t^{2}} d x_{1} \\ = \frac{1}{t^{2}} \int_{0}^{1 \land \frac{(n - 1) t}{1 - t}} \sum_{k = 0}^{⌊ \frac{1 - t}{t} x_{1} ⌋} \frac{1}{(n - 2)!} (- 1)^{k} (\binom{n - 1}{k}) (\frac{1 - t}{t} x_{1} - k)^{n - 1} x_{1} d x_{1} \end{aligned}

$\begin{align*} f(t) &= \int_0^1 f_Y(\frac{1-t}{t}x_1)\cdot \frac{x_1}{t^2}\ dx_1\\ &= \frac{1}{t^2}\int_0^{1\wedge \frac{(n-1)t}{1-t}} \sum_{k=0}^{\lfloor \frac{1-t}{t}x_1\rfloor}\frac1{(n-2)!}(-1)^k\binom{n-1}k(\frac{1-t}{t}x_1-k)^{n-1} x_1\ dx_1 \end{align*}$ Dari sini menjadi sedikit berantakan, tetapi Anda harus dapat menukar integral dan penjumlahan dan kemudian melakukan substitusi (misalnya, ) untuk mengevaluasi integral dan karenanya memperoleh rumus eksplisit untuk pdf.

u = \frac{t x_{1}}{1 - t} - k

$u=\frac{tx_1}{1-t}-k$

— Brent Kerby
sumber

1

Asumsi

"distribusi N seragam tidak berjumlah 1."

Beginilah cara saya memulai (tidak lengkap):

Pertimbangkan dan biarkan dengan sedikit penyalahgunaan notasi. $Y = \sum_{i=1}^n X_i$ $X=X_i$

Pertimbangkan, dan : $U = \frac{X}{Y}$ $V =Y$

X = U V Y = V

$X=UV\\ Y=V$

Kemudian transformasi variabel berikut :

J = [\begin{matrix} V & U \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$J = \begin{bmatrix} V & U\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

Fungsi probabilitas gabungan dari diberikan oleh: $(U,V)$

$f_{U,V}(u,v) = f_{X,Y}(uv,v)|J|$

Di mana dan $X \sim U(0,1)$ $Y \sim IrwinHall$

f_{X} (x) = {\begin{cases} 1 & 0 \leq x \leq 1 \\ 0 & o t h e r w i s e \end{cases}

$f_X(x) = \begin{cases} 1 & 0 \leq x\leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$

Dan,

f_{Y} (y) = \frac{1}{2 (n - 1)!} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (x - k)^{n - 1} s i g n (x - k)

$f_Y(y) = \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(x-k)^{n-1} sign(x-k)$

Jadi,

f_{U, V} (u, v) = {\begin{cases} \frac{1}{2 (n - 1)!} \sum_{k = 0}^{n} (- 1)^{k} (\binom{n}{k}) (u v - k)^{n - 1} s i g n (u v - k) & 0 \leq u v \leq 1 \\ 0 & o t h e r w i s e \end{cases}

$f_{U,V}(u,v) = \begin{cases} \frac{1}{2(n-1)!}\sum_{k=0}^n(-1)^k {n\choose k}(uv-k)^{n-1} sign(uv-k) & 0 \leq uv \leq 1\\ 0 & otherwise \end{cases}$

dan $f_U(u) = \int f_{U,V}(u,v) dv$

— hak cipta
sumber

0

Misalkan kita sudah tahu jumlah memiliki distribusi Irwin-Hall. Sekarang pertanyaan Anda berubah untuk menemukan pdf (atau CDF) dari ketika X memiliki distribusi dan memiliki distribusi Irwin-Hall. $U(0,1)$ $\frac{X}{Y}$ $U(0,1)$ $Y$

Pertama kita perlu menemukan dia bersama pdf dari dan . $X$ $Y$

Biarkan $Y_1=X_1\\Y_2=X_1+X_2\\Y_3=X_1+X_2+X_3$

Kemudian

$X_1=Y_1\\X_2=Y_2-Y_1\\X_3=Y_3-Y_2-Y_1$

$\therefore$

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial X_1}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_1}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_1}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_2}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_2}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_2}{\partial Y_3} \\ \frac{\partial X_3}{\partial Y_1} & \frac{\partial X_3}{\partial Y_2} &\frac{\partial X_3}{\partial Y_3} \end{vmatrix}=-1$

Karena iid dengan oleh karena itu, $X_1, X_2, X_3$ $U(0,1),$ $f(x_1,x_2,x_3)=f(x_1)f(x_2)f(x_3)=1$

Distribusi bersama dengan adalah $y_1,y_2,y_3$

$g(y_1,y_2,y_3)=f(y_1,y_2,y_3)|J|=1$

Selanjutnya mari kita mengintegrasikan dan kita bisa mendapatkan distribusi bersama dan yaitu distribusi bersama dan $Y_2$ $Y_1$ $Y_3$ $X_1$ $X_1+X_2+X_3$

Seperti yang disarankan oleh Whuber sekarang saya mengubah batas

\begin{matrix} (1) & h (y_{1}, y_{3}) = \int_{y_{1} + 1}^{y_{3} - 1} g (y_{1}, y_{2}, y_{3}) d y_{2} = \int_{y_{1} + 1}^{y_{3} - 1} 1 d y_{2} = y_{3} - y_{1} - 2 \end{matrix}

$h(y_1,y_3)=\int_{y_1+1}^{y_3-1} g(y_1,y_2,y_3)dy_2=\int_{y_1+1}^{y_3-1} 1 dy_2=y_3-y_1-2 \tag{1}$

Sekarang, kita tahu pdf gabungan yaitu pdf gabungan dan adalah . $X,Y$ $X_1$ $X_1+X_2+X_3$ $y_3-y_1-2$

Selanjutnya mari cari pdf dari $\frac{X}{Y}$

Kami membutuhkan transformasi lain:

Biarkan $Y_1=X\\Y_2=\frac{X}{Y}$

Kemudian $X=Y_1\\Y=\frac{Y_1}{Y_2}$

Kemudian

$J=\begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial y_1} & \frac{\partial x}{\partial y_2}\\ \frac{\partial y}{\partial y_1} & \frac{\partial y}{\partial y_2} \end{vmatrix}= \begin{vmatrix} 1 & 0\\ \frac{1}{y_2} & -\frac{y_1}{y_2^2} \end{vmatrix}=-\frac{y_1}{y_2^2}$

kami sudah distribusi bersama dari langkah-langkah di atas ref (1) . $X,Y$

$\therefore$

$g_2(y_1,y_2)=h(y_1,y_3)|J|=(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}$

Selanjutnya, kita mengintegrasikan keluar kita mendapatkan pdf dari kemudian kita mendapatkan pdf dari $y_1$ $y_2$ $\frac{X}{Y}$

\begin{matrix} (2) & h_{2} (y_{2}) = \int_{0}^{1} (y_{3} - y_{1} - 2) \frac{y_{1}}{y_{2}^{2}} d y_{1} = \frac{1}{y_{2}^{2}} (\frac{y_{3}}{2} - \frac{1}{3} - 1) \end{matrix}

$h_2(y_2)=\int_0^1(y_3-y_1-2)\frac{y_1}{y_2^2}dy_1=\frac{1}{y_2^2}(\frac{y_3}{2}-\frac{1}{3}-1)\tag{2}$

Ini adalah pdf dari yaitu $X/Y$ $\frac{X_1}{X1+X_2+X_3}$

Kami belum selesai, lalu apa di (2) ? $y_3$

Kita tahu bahwa dari transformasi pertama. $Y_3=X_1+X_2+X_3$

Jadi setidaknya kita tahu memiliki distribusi Irwin-Hall . $Y_3$

Saya ingin tahu, bisakah kita menyambungkan Irwin-Hall untuk pdf ke (2) untuk mendapatkan formula eksplisit? atau bisakah kita melakukan beberapa simulasi dari sini seperti yang disarankan Glen? $n=3$

— Jauh di Utara
sumber

2

Simulasi tampaknya tidak setuju dengan pdf itu.

— Glen_b -Reinstate Monica

Logikanya dan langkah-langkahnya tampak benar, tetapi saya merasa tidak nyaman dengan solusi ini.

— Jauh di Utara

2

Di mana Anda mengintegrasikan , Anda perlu memperhitungkan kondisi dan .

y_{2}

$y_2$

y_{1} \leq y_{2} \leq y_{3}

$y_1\le y_2\le y_3$

y_{3} - 1 \leq y_{2} \leq y_{1} + 1

$y_3-1 \le y_2\le y_1+1$

— whuber