Mengapa PDF Distribusi Dirichlet tampaknya tidak berintegrasi ke 1?

Saya telah mencoba untuk menemukan nilai yang diharapkan dari fungsi variabel acak dengan distribusi Dirichlet dengan mengintegrasikan produknya dengan fungsi kepadatan Dirichlet melalui simpleks dalam R.

Untuk memeriksa saya menerapkan fungsi yang benar dalam R, saya mencoba mengintegrasikan fungsi kerapatan pada seluruh simpleks, berharap untuk mendapatkan 1, namun saya terus mendapatkan bahwa fungsi kerapatan untuk distribusi Dirichlet dengan n kategori yang terintegrasi ke sqrt (n) (menggunakan Paket R SimplicialCubature).

Saya berasumsi ini pasti salah, tapi kemudian saya melihat fungsi kerapatan untuk 2 kategori, perhatikan kasus di mana alfa = (1,1). Kemudian fungsi kerapatan seragam 1 (mengambil fungsi kerapatan dari https://en.wikipedia.org/wiki/Dirichlet_distribution ). Jadi integral dari fungsi densitas atas 1-simpleks hanya memberikan panjang 1-simpleks. Tapi ini sqrt (2), seperti yang saya temukan dengan kode R.

Apa yang kulewatkan di sini?

Dengan dua variabel, Anda mendefinisikan segmen garis di , seperti yang Anda tunjukkan. Namun, karena kendala simpleks, salah satu dari dua variabel ini berlebihan dalam hal menentukan kepadatan, karena ada hubungan satu-ke-satu antara dan . Oleh karena itu, kepadatan ditentukan lebih dari variabel bebas (yaitu, dalam )$\mathbb{R}^2$$x_1$$x_2$$K-1$$\mathbb{R}$

Ini sebenarnya ditunjukkan pada baris pertama bagian artikel Wikipedia ini, meskipun sangat halus.

Karena itu, fungsi kepadatan Anda menjadi :.

$$Dir_{1,1}(x_1,1-x_1)=\frac{\Gamma(2)}{\Gamma(1)^2}(x_1)^0(1-x_1)^0=1$$

Karena itu,

$$\int_0^1 Dir_{1,1}(x_1,1-x_1) dx_1 = 1$$

---

Respon untuk Komentar OP

Karena kendala simpleks, kepadatan Dirichlet dua variabel sebenarnya merosot dalam , seperti yang ditunjukkan oleh konstruksi saya di atas (hanya membutuhkan satu variabel). Meskipun benar ia memiliki kerapatan , ia tidak memiliki kerapatan$\mathbb{R}^2$$1$$1$ pada segmen yang terhubung $(1,0)$ dengan $(0,1)$. Apa yang ditunjukkan oleh konstruksi di atas adalah bahwa kepadatan marginal memiliki nilai$1$. Kebingungan Anda berasal dari pemikiran$x_2$ sebagai variabel bebas, dalam hal ini dukungan Dirichlet aktif $\mathbb{R}^2$akan memiliki area yang tidak nol. Intuisi ini baik-baik saja dalam kasus-kasus seperti gaussian bivariat, di mana kedua variabel tidak berkorelasi sempurna, tetapi tidak dalam kasus ini.

Kami dapat memperoleh ini secara resmi sebagai berikut:

Membiarkan $L$ ada beberapa nomor dalam $[0,\sqrt{2}]$ menentukan jarak dari $(1,0)$ untuk $(0,1)$sepanjang segmen jalur penghubung. Dengan demikian, setiap nilai$L$ mengidentifikasi yang unik $(x_ 1,x_2)$pasangan. Dengan menggunakan notasi ini, asumsi Anda bahwa kepadatannya adalah$1$ sepanjang garis ini bermuara ke:

$$P(L \in [a,b] \subset)=b-a$$

Namun, kami dapat menunjukkan ini tidak terjadi melalui perawatan formal dari kepadatan sendi $x_1,x_2$:

$$P_L(L\in [a,b])=P_{X_1,X_2}[(x_1,x_2) \in A_{[a,b]}]$$

Dimana $A_{[a,b]}:= \{(u,v): u \in [1-\frac{b}{\sqrt{2}},1-\frac{a}{\sqrt{2}}], v = 1- u]$

Sekarang, mari kita hitung $P_L(L\in [a,b])$:

$$P_L(L\in [a,b])= \int_{A_{[a,b]}} dP_{X_1,X_2}= \int_{A_{[a,b]}} dP_{X_1}dP_{X_2|X_1} =\int_{A_{[a,b]}} 1 \;dP_{X_1} = \int_{1-\frac{b}{\sqrt{2}}}^{1-\frac{a}{\sqrt{2}}}1\; du =$$

$$\left(1-\frac{a}{\sqrt{2}}\right) - \left(1-\frac{b}{\sqrt{2}}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}}(b-a)$$

Di mana kesetaraan ketiga muncul karena $dP_{X_2|X_1} = 1$ untuk $X_2=1-X_1$ (Yaitu, itu bukan kepadatan, tetapi massa probabilitas titik di $1-X_1$)

Seperti yang Anda lihat, kami telah memulihkan $\frac{1}{\sqrt{2}}$ menormalkan konstanta untuk densitas sepanjang segmen garis dalam $\mathbb{R}^2$. Secara efektif, kerapatan sambungan ini (degenerasi) hanyalah transformasi linear dari salah satu dari dua marjinal (salah satu akan bekerja). Ini menghasilkan domain dari probabilitas kepadatan untuk pergi$1$ untuk $\sqrt{2}$, maka kerapatan harus berkurang untuk mengimbangi.