X, Y variabel acak univariat dengan


8

Membiarkan X:ΩR dan Y:ΩR menjadi variabel acak univariat dengan CDF FX,Y(x,y) seperti yang:

FX,Y(x,y)=G1(x)G2(y),(x,y)R×R
dimana G1:RR, G2:RR dikenal fungsinya.

Pertanyaan : Benarkah ituX dan Y Apakah RV independen?

Adakah yang bisa memberi saya beberapa petunjuk?

Saya mencoba untuk:

FX(x)=limyFX,Y(x,y)=limyG1(x)G2(y)=G1(x)limyG2(y)
tapi saya tidak tahu mengapa (atau jika) .limyG2(y)=1

2
Apakah hubungan berlaku untuk semua dan atau hanya pada spesifik ? FX,Y(x,y)=G1(x)G2(y) xy(x,y)
Dilip Sarwate

2
Juga, apakah adalah CDF? FX,Y(x,y)
Vimal

1
Apakah Anda mencoba untuk bertanya apakah mengetahui bagaimana faktor fungsi distribusi dari bivariat variabel acak menjadi produk dari fungsi dan secara terpisah cukup untuk menyimpulkan dan adalah independen? (X,Y)xyXY
whuber

Maaf atas kebingungannya, saya akan mengedit pertanyaannya sekarang. adalah CDF dan properti berlaku untuk semua . FX,Y(x,y)x,y
Guilherme Salomé

1
limyG2(y)=1 tidak harus benar. Pertimbangkan dan dan pertimbangkan itu tetapi keduanya dan tidak dapat memiliki batas 1.H1(x)=G1(x)0.5H2(y)=G2(y)2FX,Y(x,y)=H1(x)H2(y)G1H1
bsdfish

Jawaban:


7

Ya, memang benar bahwa asumsi ini menyiratkan dan adalah independen.XY

Sederhanakan notasi dengan menulis . Menurut definisi,F=FX,Y

F(x,y)=Pr(Xx,Yy).

Oleh karena itu batas ketika meningkat tanpa batas ada dan kemungkinan tidak melebihi :F(x,y)yXx

FX(x)=Pr(Xx)=limyF(x,y)=G1(x)limyG2(y).

Memilih yang menunjukkan bukan nol. ( seperti itu harus ada oleh hukum probabilitas total, yang menyatakan ) JadixFX(x)0G2=limyG2(y)xlimxFX(x)=1

G1(x)=FX(x)G2

untuk semua . Saling menukar peran dan dan menggunakan notasi analog,xXY

G2(y)=FY(y)G1

untuk semua . Mengambil batas gabungan karena dan tumbuh tanpa batas menunjukkanyxy

1=limx,yF(x,y)=G1G2.

Karena itu

F(x,y)=G1(x)G2(y)=FX(x)FY(y)G1G2=FX(x)FY(y),

menunjukkan dan bersifat independen.XY


1
Yang aneh adalah bahwa dan keduanya dapat menjadi fungsi bernilai negatif dengan, katakanlah, dan dan semuanya akan tetap berhasil OK. G1()G2()G1=2G2=12
Dilip Sarwate

2
@DilipSarwate: tidak terlalu ingin tahu dalam hal itu, jika memenuhi hubungan, begitu juga , sehingga Anda dapat dengan aman menganggap baik dan bernilai positif. Demikian pula, jika memenuhi relasi, demikian juga , untuk . (G1,G2)(G1,G2)G1G2(G1,G2)(αG1,α1G2)αR
Xi'an

@ Xi'an Saya sangat mengerti. Saya hanya ingin menekankan (karena OP bertanya-tanya bagaimana menunjukkan bahwa memiliki nilai pembatas sebagai berarti ia menginginkan dan ) bahwa faktorisasi menyiratkan bahwa dan bersifat independen tanpa harus benar bahwa untuk semua ; untuk semua berfungsi dengan baik. G2(y)1yG1=FXG2=FYFX,Y(x,y)=G1(x)G2(y)  x,yXYG1(x)0,G2(y)0x,yG1(x)0,G2(y)0x,y
Dilip Sarwate

@Dilip bahkan bisa memiliki nilai kompleks jika Anda suka :-). Gi
whuber

1
@KiranK. Pertanyaan yang diajukan adalah "Jika gabungan CDF dapat dinyatakan sebagai , lalu apakah dan independen? " jawabannya adalah Ya, dan itu memerlukan sedikit usaha untuk menunjukkan ini. Hal ini tidak mengklaim bahwa dan adalah CDFS berlaku; jika Anda bersikeras memasukkan klaim ini, jawabannya sepele Ya karena salah satu definisi RV independen adalah bahwa faktor CDF bersama menjadi produk CDF marginal. FX,Y(x,y)FX,Y(x,y)=G1(x)G2(y) x,yXYG1(x)G2(y)
Dilip Sarwate
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.