X, Y variabel acak univariat dengan

Membiarkan $X:\Omega\to\mathbb{R}$ dan $Y:\Omega\to\mathbb{R}$ menjadi variabel acak univariat dengan CDF $F_{X,Y}(x,y)$ seperti yang:

F_{X, Y} (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y), \forall (x, y) \in R \times R

$F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y),\forall (x,y)\in\mathbb{R}\times\mathbb{R}$ dimana

G_{1} : R \to R

$G_1:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ,

G_{2} : R \to R

$G_2:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dikenal fungsinya.

Pertanyaan : Benarkah itu $X$ dan $Y$ Apakah RV independen?

Adakah yang bisa memberi saya beberapa petunjuk?

Saya mencoba untuk:

F_{X} (x) = lim_{y \to \infty} F_{X, Y} (x, y) = lim_{y \to \infty} G_{1} (x) G_{2} (y) = G_{1} (x) \cdot lim_{y \to \infty} G_{2} (y)

$F_X(x)=\lim_{y\to\infty}F_{X,Y}(x,y)=\lim_{y\to\infty}G_1(x)G_2(y)=G_1(x)\cdot\lim_{y\to\infty}G_2(y)$ tapi saya tidak tahu mengapa (atau jika) .

lim_{y \to \infty} G_{2} (y) = 1

$\lim_{y\to\infty}G_2(y)=1$

random-variable joint-distribution

— Guilherme Salomé
sumber

Apakah hubungan berlaku untuk semua dan atau hanya pada spesifik ?

F_{X, Y} (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y)

$F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y)$

x

$x$

y

$y$

(x, y)

$(x,y)$

— Dilip Sarwate

Juga, apakah adalah CDF?

F_{X, Y} (x, y)

$F_{X,Y}(x,y)$

— Vimal

Apakah Anda mencoba untuk bertanya apakah mengetahui bagaimana faktor fungsi distribusi dari bivariat variabel acak menjadi produk dari fungsi dan secara terpisah cukup untuk menyimpulkan dan adalah independen?

(X, Y)

$(X,Y)$

x

$x$

y

$y$

X

$X$

Y

$Y$

— whuber

Maaf atas kebingungannya, saya akan mengedit pertanyaannya sekarang. adalah CDF dan properti berlaku untuk semua .

F_{X, Y} (x, y)

$F_{X,Y}(x,y)$

x, y

$x,y$

— Guilherme Salomé

lim_{y \to \infty} G_{2} (y) = 1

$\lim_{y\to\infty}G_2(y)=1$ tidak harus benar. Pertimbangkan dan dan pertimbangkan itu tetapi keduanya dan tidak dapat memiliki batas 1.

H_{1} (x) = G_{1} (x) * 0.5

$H_1(x) = G_1(x) * 0.5$

H_{2} (y) = G_{2} (y) * 2

$H_2(y) = G_2(y) * 2$

F_{X, Y} (x, y) = H_{1} (x) H_{2} (y)

$F_{X,Y}(x,y)=H_1(x)H_2(y)$

G_{1}

$G_1$

H_{1}

$H_1$

— bsdfish

Ya, memang benar bahwa asumsi ini menyiratkan dan adalah independen. $X$ $Y$

Sederhanakan notasi dengan menulis . Menurut definisi, $F = F_{X,Y}$

F (x, y) = Pr (X \leq x, Y \leq y) .

$F(x,y) = \Pr(X \le x, Y \le y).$

Oleh karena itu batas ketika meningkat tanpa batas ada dan kemungkinan tidak melebihi : $F(x,y)$ $y$ $X$ $x$

F_{X} (x) = Pr (X \leq x) = lim_{y \to \infty} F (x, y) = G_{1} (x) lim_{y \to \infty} G_{2} (y) .

$F_X(x) = \Pr(X \le x) = \lim_{y\to\infty} F(x,y) = G_1(x) \lim_{y\to\infty} G_2(y).$

Memilih yang menunjukkan bukan nol. ( seperti itu harus ada oleh hukum probabilitas total, yang menyatakan ) Jadi $x$ $F_X(x)\ne 0$ $G_2^\infty = \lim_{y\to\infty}G_2(y)$ $x$ $\lim_{x\to\infty}F_X(x)=1$

G_{1} (x) = \frac{F_{X} (x)}{G_{2}^{\infty}}

$G_1(x) = \frac{F_X(x)}{G_2^\infty}$

untuk semua . Saling menukar peran dan dan menggunakan notasi analog, $x$ $X$ $Y$

G_{2} (y) = \frac{F_{Y} (y)}{G_{1}^{\infty}}

$G_2(y) = \frac{F_Y(y)}{G_1^\infty}$

untuk semua . Mengambil batas gabungan karena dan tumbuh tanpa batas menunjukkan $y$ $x$ $y$

1 = lim_{x, y \to \infty} F (x, y) = G_{1}^{\infty} G_{2}^{\infty} .

$1 = \lim_{x,y\to\infty} F(x,y) = G_1^\infty G_2^\infty.$

Karena itu

F (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y) = \frac{F_{X} (x) F_{Y} (y)}{G_{1}^{\infty} G_{2}^{\infty}} = F_{X} (x) F_{Y} (y),

$F(x,y) = G_1(x)G_2(y) = \frac{F_X(x)F_Y(y)}{G_1^\infty G_2^\infty} = F_X(x)F_Y(y),$

menunjukkan dan bersifat independen. $X$ $Y$

— whuber
sumber

Yang aneh adalah bahwa dan keduanya dapat menjadi fungsi bernilai negatif dengan, katakanlah, dan dan semuanya akan tetap berhasil OK.

G_{1} (\cdot)

$G_1(\cdot)$

G_{2} (\cdot)

$G_2(\cdot)$

G_{1}^{\infty} = - 2

$G_1^\infty = -2$

G_{2}^{\infty} = - \frac{1}{2}

$G_2^\infty = -\frac 12$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate: tidak terlalu ingin tahu dalam hal itu, jika memenuhi hubungan, begitu juga , sehingga Anda dapat dengan aman menganggap baik dan bernilai positif. Demikian pula, jika memenuhi relasi, demikian juga , untuk .

(G_{1}, G_{2})

$(G_1,G_2)$

(- G_{1}, - G_{2})

$(-G_1,-G_2)$

G_{1}

$G_1$

G_{2}

$G_2$

(G_{1}, G_{2})

$(G_1,G_2)$

(α G_{1}, α^{- 1} G_{2})

$(\alpha G_1,\alpha^{-1} G_2)$

α \in R^{*}

$\alpha\in\mathbb{R}^*$

— Xi'an

@ Xi'an Saya sangat mengerti. Saya hanya ingin menekankan (karena OP bertanya-tanya bagaimana menunjukkan bahwa memiliki nilai pembatas sebagai berarti ia menginginkan dan ) bahwa faktorisasi menyiratkan bahwa dan bersifat independen tanpa harus benar bahwa untuk semua ; untuk semua berfungsi dengan baik.

G_{2} (y)

$G_2(y)$

1

$1$

y \to \infty

$y\to\infty$

G_{1} = F_{X}

$G_1=F_X$

G_{2} = F_{Y}

$G_2=F_Y$

F_{X, Y} (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y) \forall x, y

$F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y)~\forall~x,y$

X

$X$

Y

$Y$

G_{1} (x) \geq 0, G_{2} (y) \geq 0

$G_1(x) \geq 0, G_2(y) \geq 0$

x, y

$x, y$

G_{1} (x) \leq 0, G_{2} (y) \leq 0

$G_1(x) \leq 0, G_2(y) \leq 0$

x, y

$x, y$

— Dilip Sarwate

@Dilip bahkan bisa memiliki nilai kompleks jika Anda suka :-).

G_{i}

$G_i$

— whuber

@KiranK. Pertanyaan yang diajukan adalah "Jika gabungan CDF dapat dinyatakan sebagai , lalu apakah dan independen? " jawabannya adalah Ya, dan itu memerlukan sedikit usaha untuk menunjukkan ini. Hal ini tidak mengklaim bahwa dan adalah CDFS berlaku; jika Anda bersikeras memasukkan klaim ini, jawabannya sepele Ya karena salah satu definisi RV independen adalah bahwa faktor CDF bersama menjadi produk CDF marginal.

F_{X, Y} (x, y)

$F_{X,Y}(x,y)$

F_{X, Y} (x, y) = G_{1} (x) G_{2} (y) \forall x, y

$F_{X,Y}(x,y)=G_1(x)G_2(y)~\forall x,y$

X

$X$

Y

$Y$

G_{1} (x)

$G_1(x)$

G_{2} (y)

$G_2(y)$

— Dilip Sarwate