Bagaimana cara menghitung untuk statistik pesanan dari distribusi yang seragam?

Saya mencoba menyelesaikan masalah untuk tesis saya dan saya tidak tahu bagaimana melakukannya. Saya memiliki 4 pengamatan yang diambil secara acak dari distribusi seragam . Saya ingin menghitung probabilitas bahwa . adalah statistik urutan ke-i (saya mengambil statistik urutan sehingga pengamatan saya diurutkan dari yang terkecil hingga terbesar). Saya telah menyelesaikannya untuk kasus yang lebih sederhana, tetapi di sini saya bingung bagaimana melakukannya. $(0,1)$ $3 X_{(1)}\ge X_{(2)}+X_{(3)}$ $X_{(i)}$

Semua bantuan akan disambut.

probability uniform order-statistics

— sev
sumber

Tulis statistik pesanan sebagai , . Mulailah dengan mencatat bahwa menyiratkan $(x_1,x_2,x_3,x_4)$ $0 \le x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le 1$ $x_1 \le x_2$

Pr [3 x_{1} \geq x_{2} + x_{3}] = 1 - Pr [3 x_{1} < x_{2} + x_{3}] = 1 - Pr [x_{1} \leq min (x_{2}, \frac{x_{2} + x_{3}}{3})] .

$\Pr[3x_1 \ge x_2+x_3] = 1 - \Pr[3x_1 \lt x_2+x_3] = 1 - \Pr[x_1 \le \min(x_2, \frac{x_2+x_3}{3})].$

Peristiwa terakhir ini dibagi menjadi dua peristiwa terpisah tergantung pada dan mana yang lebih besar: $x_2$ $(x_2+x_3)/2$

\begin{aligned} Pr [x_{1} \leq min (x_{2}, \frac{x_{2} + x_{3}}{3})] & = Pr [x_{2} \leq \frac{x_{3}}{2}, x_{1} \leq x_{2}] \\ + Pr [\frac{x_{3}}{2} \leq x_{2} \leq x_{3}, x_{1} \leq \frac{x_{2} + x_{3}}{3}] . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr[x_1 \le \min(x_2, \frac{x_2+x_3}{3})] &= \Pr[x_2 \le \frac{x_3}{2},\quad x_1 \le x_2] \\ &+ \Pr[\frac{x_3}{2} \le x_2 \le x_3,\quad x_1 \le \frac{x_2+x_3}{3}]. }$

Karena distribusi gabungannya seragam pada set , dengan kepadatan , $0 \le x_1 \le x_2 \le x_3 \le x_4 \le 1$ $4! dx_4 dx_3 dx_2 dx_1$

Pr [x_{2} \leq \frac{x_{3}}{2}, x_{1} \leq x_{2}] = 4! \int_{0}^{1} d x_{4} \int_{0}^{x_{4}} d x_{3} \int_{0}^{x_{3} / 2} d x_{2} \int_{0}^{x_{2}} d x_{1} = \frac{1}{4}

$\Pr[x_2 \le \frac{x_3}{2},\quad x_1 \le x_2] = 4! \int_0^1 dx_4 \int_0^{x_4} dx_3 \int_0^{x_3/2} dx_2 \int_0^{x_2} dx_1 = \frac{1}{4}$

dan

Pr [\frac{x_{3}}{2} \leq x_{2} \leq x_{3}, x_{1} \leq \frac{x_{2} + x_{3}}{3}] = 4! \int_{0}^{1} d x_{4} \int_{0}^{x_{4}} d x_{3} \int_{x_{3} / 2}^{x_{3}} d x_{2} \int_{0}^{(x_{2} + x_{3}) / 2} d x_{1} = \frac{7}{12} .

$\Pr[\frac{x_3}{2} \le x_2 \le x_3,\quad x_1 \le \frac{x_2+x_3}{3}]=4! \int_0^1 dx_4 \int_0^{x_4} dx_3 \int_{x_3/2}^{x_3} dx_2 \int_0^{(x_2+x_3)/2} dx_1 = \frac{7}{12}.$

(Setiap integral mudah untuk tampil sebagai integral yang diiterasi; hanya integrasi polinomial yang terlibat.)

Karena itu probabilitas yang diinginkan sama dengan = . $1 - (1/4 + 7/12)$ $1/6$

Edit

Solusi yang lebih pintar (yang menyederhanakan pekerjaan) berasal dari pengakuan bahwa ketika memiliki distribusi eksponensial, , kemudian (menulis ) , jumlah parsial yang diskalakan $y_j$ $1\le j\le n+1$ $y_1+y_2+\cdots+y_{n+1} = Y\$

x_{i} = \sum_{j = 1}^{i} y_{j} / Y,

$x_i = \sum_{j=1}^{i}y_j/Y,$

$1\le i\le n$ , didistribusikan seperti statistik pesanan seragam. Karena hampir pasti positif, maka dengan mudah bahwa untuk setiap , $Y$ $n\ge 3$

\begin{aligned} Pr [3 x_{1} \geq x_{2} + x_{3}] & = Pr [\frac{3 y_{1}}{Y} \geq \frac{y_{1} + y_{2}}{Y} + \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{Y}] \\ = Pr [3 y_{1} \geq (y_{1} + y_{2}) + (y_{1} + y_{2} + y_{3})] \\ = Pr [y_{1} \geq 2 y_{2} + y_{3}] \\ = \int_{0}^{\infty} \exp (- y_{3}) \int_{0}^{\infty} \exp (- y_{2}) \int_{2 y_{2} + y_{3}}^{\infty} \exp (- y_{1}) d y_{1} d y_{2} d y_{3} \\ = \int_{0}^{\infty} \exp (- y_{3}) \int_{0}^{\infty} \exp (- y_{2}) [\exp (- 2 y_{2} - y_{3})] d y_{2} d y_{3} \\ = \int_{0}^{\infty} \exp (- 2 y_{3}) d y_{3} \int_{0}^{\infty} \exp (- 3 y_{2}) d y_{2} \\ = \frac{1}{2} \frac{1}{3} = \frac{1}{6} . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr[3x_1\ge x_2+x_3] &= \Pr[\frac{3y_1}{Y}\ge\frac{y_1+y_2}{Y}+\frac{y_1+y_2+y_3}{Y}]\\ &=\Pr[3y_1\ge(y_1+y_2)+(y_1+y_2+y_3)]\\ &= \Pr[y_1\ge 2y_2+y_3]\\ &= \int_0^\infty \exp(-y_3)\int_0^\infty \exp(-y_2) \int_{2y_2+y_3}^\infty \exp(-y_1) dy_1 dy_2 dy_3\\ &= \int_0^\infty \exp(-y_3)\int_0^\infty \exp(-y_2)\left[\exp(-2y_2-y_3)\right]dy_2 dy_3 \\ &= \int_0^\infty \exp(-2y_3)dy_3 \int_0^\infty \exp(-3y_2)dy_2 \\ &= \frac{1}{2} \frac{1}{3} = \frac{1}{6}. }$

— whuber
sumber

Terima kasih banyak atas bantuan Anda! Saya terhambat dalam penelitian saya karena masalah ini, jadi sekali lagi terima kasih!

— sev

+1 Sudut pandang yang ditambahkan dalam edit terbaru sangat dihargai

— Dilip Sarwate