Membagi dua variabel acak diskrit?

9

Mari adalah variabel acak diskrit mengambil nilai-nilai di . Saya ingin membagi dua variabel ini, yaitu, untuk menemukan variabel acak seperti: $X$ $\mathbb{N}$ $Y$

X = Y + Y^{*}

$X = Y + Y^*$

di mana adalah salinan independen . $Y^*$ $Y$

Saya menyebut proses ini sebagai membagi dua ; ini adalah terminologi yang dibuat-buat. Apakah ada istilah yang tepat yang ditemukan dalam literatur untuk operasi ini?
Tampak bagi saya bahwa seperti itu selalu ada hanya jika kita menerima probabilitas negatif. Apakah saya benar dalam pengamatan saya? $Y$
Apakah ada gagasan terbaik positif cocok untuk ? Aka variabel acak yang akan menjadi "terdekat" untuk menyelesaikan persamaan di atas. $Y$

Terima kasih!

random-variable

— Joannes Vermorel
sumber

1

Dalam kasus di mana Anda tidak dapat "membagi dua" persisnya, ada beberapa definisi yang mungkin tentang "terdekat"; itu tergantung pada apa yang ingin Anda optimalkan.

— Glen_b -Reinstate Monica

10

Gagasan yang sangat terkait dengan properti ini (jika lebih lemah) adalah kemampuan dekomposisi . Hukum yang dapat diurai adalah distribusi probabilitas yang dapat direpresentasikan sebagai distribusi jumlah dua (atau lebih) variabel acak independen non-sepele. (Dan hukum yang tidak dapat didaur ulang tidak dapat ditulis seperti itu. "Atau lebih" jelas tidak relevan.) Kondisi yang diperlukan dan cukup untuk dekomposabilitas adalah bahwa fungsi karakteristik adalah produk dari dua (atau lebih) fungsi karakteristik.

ψ (t) = E [\exp {i t X}]

$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$

Saya tidak tahu apakah properti yang Anda anggap sudah memiliki nama dalam teori probabilitas, mungkin dikaitkan dengan ketidakterbatasan yang tak terbatas . Yang merupakan properti jauh lebih kuat , tetapi yang mencakup properti ini: semua rv yang tak terhingga dapat memenuhi dekomposisi ini. $X$

Syarat yang diperlukan dan cukup untuk "keterbagian primer" ini adalah bahwa akar fungsi karakteristik lagi-lagi merupakan fungsi karakteristik.

ψ (t) = E [\exp {i t X}]

$\psi(t)=\mathbb{E}[\exp\{itX\}]$

Dalam kasus distribusi dengan dukungan integer, ini jarang terjadi karena fungsi karakteristik adalah polinomial dalam . Sebagai contoh, variabel acak Bernoulli tidak dapat diuraikan. $\exp\{it\}$

Seperti yang ditunjukkan di halaman Wikipedia tentang dekomposabilitas , di sana juga ada distribusi kontinu mutlak yang tidak dapat didekomposisi, seperti yang dengan kepadatan

f (x) = \frac{x^{2}}{\sqrt{2 π}} \exp {- x^{2} / 2}

$f(x)=\frac{x^2}{\sqrt{2\pi}}\exp\{-x^2/2\}$

Jika fungsi karakteristik bernilai nyata, teorema Polya dapat digunakan: $X$

Teorema Pólya. Jika φ adalah fungsi bernilai real, rata, kontinu yang memenuhi persyaratan
φ(0) = 1,
φ is convex on (0,∞),
φ(∞) = 0,
maka φ adalah fungsi karakteristik dari distribusi simetris yang benar-benar kontinu.

Memang, dalam hal ini, sekali lagi bernilai real. Oleh karena itu, kondisi yang cukup untuk agar dapat dibagi primer adalah φ adalah akar-cembung. Tapi itu hanya berlaku untuk distribusi simetris sehingga penggunaannya jauh lebih terbatas daripada teorema Böchner misalnya. $\varphi^{1/2}$ $X$

— Xi'an
sumber

6

Ada beberapa kasus khusus di mana ini berlaku, tetapi untuk variabel acak diskrit arbitrer , "separuh" Anda tidak mungkin.

$(n,p)$ $(2n,p)$ $(2n,p)$
$(2n+1,p)$
$(2n,p)$
$(\lambda)$ $(2\lambda)$ $(\lambda)$ $(\frac{\lambda}{2})$ $(\lambda)$ $n$ $2^n$ $\left(\frac{\lambda}{2^n}\right)$

— Dilip Sarwate
sumber

2

+1 Ingatan saya adalah bahwa seragam diskrit adalah kasus khusus di mana itu tidak mungkin (saya percaya ada banyak yang lain, tapi itu salah satu yang telah saya lihat).

— Glen_b -Reinstate Monica

Memang, distribusi yang seragam dapat terurai tetapi tidak dapat dibagi dalam arti di atas.

— Xi'an

2

Distribusi Poisson adalah salah satu contoh dari distribusi yang dapat dibagi secara tak terhingga, sehingga dapat dibagi dalam jumlah jumlah variatif iid yang sewenang-wenang.

— Xi'an

-1

$\frac{1}{2}$

Untuk menjawab pertanyaan Anda,

$X$ $X$
$Y,Y^*$ $X$ $\lambda$ $Y$ $Y^*$ $\frac{\lambda}{2}$ $X$
Saya belum melihat apa pun, dan saya tidak bisa membayangkan bagaimana memformalkan yang paling cocok. Biasanya, pendekatan terhadap variabel acak diukur dengan norma pada ruang variabel acak. Saya tidak bisa memikirkan perkiraan variabel acak oleh atau untuk variabel tidak acak.

Saya harap saya bisa membantu.

— mattd
sumber