Nilai rata-rata dari cetakan yang dipilih dari serangkaian gulungan yang tak terbatas

13

Jika saya melempar sepasang dadu beberapa kali tanpa batas, dan selalu memilih nilai yang lebih tinggi dari keduanya, akankah rata-rata yang diharapkan dari nilai tertinggi melebihi 3,5?

Kelihatannya pasti karena jika saya melempar sejuta dadu, dan memilih nilai tertinggi setiap kali, kemungkinannya besar bahwa enam akan tersedia di setiap gulungan. Dengan demikian, rata-rata yang diharapkan akan menjadi sekitar 5.999999999999 ...

Namun, saya tidak bisa mencari tahu apa nilai yang diharapkan dengan contoh saya hanya menggunakan 2 dadu. Adakah yang bisa membantu saya sampai di nomor? Apakah ini akan melebihi 3,5? Apakah ini bahkan sesuatu yang dapat dihitung?

dice

— Jason
sumber

3

Bisakah Anda menyebutkan ruang sampel? Sebutkan kemungkinan untuk contoh 2-dadu.

— soakley

6

Eksperimen juga dapat disimulasikan. Pendekatan ini berguna ketika enumerasi sulit (seperti rolling 3 dadu).

# fix the seed for reproducibility
set.seed(123)

# simulate pair of dice
rolls = matrix(sample(1:6, 2000000, replace=T), ncol=2)

# compute expected value
mean(apply(rolls, 1, max))
[1] 4.471531

— Nishanth
sumber

30

Tidak perlu menggunakan simulasi untuk ini, kasus umum cukup mudah dianalisis. Biarkan menjadi jumlah dadu dan $n$ $X$ menjadi gulungan maksimum yang dibuat saat menggulirkan dadu . $n$

Maka dan secara umum

P (X \leq 1) = {(\frac{1}{6})}^{n}

$P(X \leq 1) = \left(\frac{1}{6}\right)^n$

P (X \leq k) = {(\frac{k}{6})}^{n}

$P(X \leq k) = \left(\frac{k}{6}\right)^n$

k

$k$

P (X = k) = P (x \leq k) - P (x \leq k - 1) = {(\frac{k}{6})}^{n} - {(\frac{k - 1}{6})}^{n} .

$P(X = k) = P(x \leq k) - P(x \leq k-1)=\left(\frac{k}{6}\right)^n-\left(\frac{k-1}{6}\right)^n.$

$n = 2$

— Erik
sumber

2

P (X = 6) = 1^{n} - (\frac{5}{6})^{n} \to 1

$P(X = 6) = 1^n - (\frac{5}{6})^n \rightarrow 1$

n \to \infty

$n \rightarrow \infty$

11

Saya sarankan hanya bekerja melalui kasus sepele untuk melihat jawabannya.

[\begin{matrix} (1, 1) & (1, 2) & . . . \\ (2, 1) & (2, 2) & . . . \\ (3, 1) & (3, 2) & . . . \\ . . . \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} (1,1) & (1,2) & ... \\ (2,1) & (2,2) & ... \\ (3,1) & (3,2) & ... \\ ... \end{bmatrix}$

Nilai yang diharapkan dari jumlah tersebut adalah 7. Ini adalah kasusnya karena gulungan adalah gambar independen yang identik, sehingga dapat dijumlahkan. Harapan menggulung dadu kubus yang adil adalah 3,5.

[\begin{matrix} 1 & 2 & . . . \\ 2 & 2 & . . . \\ 3 & 3 & . . . \\ . . . \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 2 & ... \\ 2 & 2 & ... \\ 3 & 3 & ... \\ ... \end{bmatrix}$

E [x] = Σ (x P (x)) = 1 / 36 (1) + 1 / 36 (2) + . . . + 1 / 36 (6) \approx 4.47

$E[x] = \Sigma(xP(x)) = 1/36(1) + 1/36(2) + ... + 1/36(6) \approx 4.47$

$n$ $n$ $n$

— d0rmLife
sumber

2

Dengan asumsi masing-masing dari 36 kombinasi memiliki probabilitas yang sama, kita hanya perlu menambahkan nilai dari masing-masing kombinasi 36 dan membaginya dengan 36 untuk mendapatkan rata-rata:

1 kemungkinan: 11
3 kemungkinan: 12, 21, 22
5 kemungkinan: 13, 23, 31, 32, 33
7 kemungkinan: 14, 24, 34, 41, 42, 43, 44
9 kemungkinan: 15, 25, 35, 45, 51, 52, 53, 54, 55
11 kemungkinan: 16, 26, 36, 46, 56, 61, 62, 63, 64, 65, 66

(1 * 1 + 2 * 3 + 3 * 5 + 4 * 7 + 5 * 9 + 6 * 11) / 36 = 4.47222 ..

— Briguy37
sumber

1

Troll Dice Roller adalah yang alat untuk menemukan dadu probabilitas. Dia memiliki makalah yang menjelaskan implementasinya, tetapi ini cukup akademis.

max(2d6) hasil panen

1 - 2.8%
2 - 8.3%
3 - 13.9%
4 - 19.4%
5 - 25%
6 - 30.6%
Average value =    4.47222222222
Spread =       1.40408355068
Mean deviation =       1.1975308642

— QuestionC
sumber