Apa arti super skrip 2 subskrip 2 dalam konteks norma?

Saya baru mengenal pengoptimalan. Saya terus melihat persamaan yang memiliki superskrip 2 dan subskrip 2 di sebelah kanan norma. Sebagai contoh, di sini adalah persamaan kuadrat terkecil

mnt $||Ax-b||^2_2$

Saya rasa saya mengerti superskrip 2: artinya kuadratkan nilai norma. Tapi apa itu subskrip 2? Bagaimana saya harus membaca persamaan ini?

regression optimization notation

— bernie2436
sumber

| | θ | |_{p}

$||\theta||_p$ adalah

ℓ_{p}

$\ell_p$ -norm dari

θ

$\theta$ . Katakanlah

θ

$\theta$ adalah

d

$d$ dimensional, lalu

| | θ | |_{p} = {(\sum_{i = 1}^{d} | θ_{i} |^{p})}^{\frac{1}{p}}

$||\theta||_p = \left(\sum_{i=1}^d |\theta_i|^p\right)^\frac{1}{p}$ .

— Sobi

Bilah vertikal tunggal digunakan untuk nilai absolut (besarnya):

| θ |

$|\theta|$

— Scortchi

Terima kasih! ... tapi untuk apa superscript 2? ... subsript untuk norma pth .... superscript untuk?

— mathopt

@ user1467929: Mengkuadratkan - jika ada hal lain yang pasti akan mereka katakan.

— Scortchi

Jawaban:

Anda benar tentang superscript. Subskrip $||.||_p$ menentukan $p$ -norm.

Karena itu:

| | x_{i} | |_{p} = (\sum_{i} | x_{i} |^{p})^{1 / p}

$||x_i||_p=(\sum_i|x_i|^p)^{1/p}$

Dan:

| | x_{i} | |_{p}^{p} = \sum_{i} | x_{i} |^{p}

$||x_i||_p^p=\sum_i|x_i|^p$

— RUser4512
sumber

ah. Dan ada konvensi untuk arti dari subskrip yang saya lihat. en.wikipedia.org/wiki/Norm_(mathematics)#p-norm . Jadi seperti 1 = norma taksi, 2 = norma

— euclid

@ bernie2436: Ini adalah kasus khusus dari definisi umum yang diberikan dalam jawaban di atas (kecuali mungkin sup-norm dengan

)

p = \infty

$p = \infty$

— Michael M

$\|x\|_2$ $x$ $\|x\|_2^2$ $x$ $\|x\|$ $\|x\|_2 := \sqrt{x_1^2 + x_2^2 + \dots + x_n^2}$

Seperti disebutkan dalam komentar, subkrip mengacu pada tingkat norma. Norma lain yang umum digunakan adalah untuk , dan . Untuk seseorang mendapatkan jumlah elemen yang tidak nol dalam , untuk (mis. ) seseorang mendapatkan norma Manhattan dan untuk seseorang mendapatkan nilai absolut maksimum dari elemen tersebut. dalam . Baik dan populer di pengaturan aplikasi yang jarang / dikompresi di mana seseorang ingin "mendesak" beberapa koefisien menjadi nol. $p$ $p = 0$ $p = 1$ $p = \infty$ $p=0$ $x$ $p=1$ $\|x\|_1$ $p = \infty$ $x$ $p = 0$ $p = 1$

— usεr11852 kata Reinstate Monic
sumber