Interval Keyakinan untuk ECDF

Ketimpangan Dvoretzky – Kiefer – Wolfowitz adalah sebagai berikut:

$Pr(\text{sup}|\hat{F}_n(x)-F(x)|>\epsilon)\leq 2\exp(-2n\epsilon^2)$,

dan memprediksi seberapa dekat fungsi distribusi yang ditentukan secara empiris akan dengan fungsi distribusi dari mana sampel empiris diambil. Dengan menggunakan ketidaksetaraan ini kami dapat memanfaatkan interval kepercayaan (CI) di sekitar$\hat{F}_n(x)$(ECDF). Tetapi CI ini akan memiliki jarak yang sama di setiap titik ECDF.

Yang saya heran, apakah ada cara lain untuk membangun CI di sekitar ECDF?

Membaca tentang statistik yang dipesan, kami menemukan bahwa distribusi asimptotik dari statistik yang dipesan adalah sebagai berikut:

Sekarang, pertama, apa fungsinya $np$-index dengan simbol-simbol itu artinya?

Pertanyaan utama: apakah kita dapat menggunakan hasil ini, bersama-sama dengan metode delta (lihat di bawah), untuk memberikan CI untuk ECDF. Maksud saya, ECDF adalah fungsi dari statistik yang diurutkan, bukan? Tetapi pada saat yang sama ECDF adalah fungsi non-parametrik, jadi apakah ini jalan buntu?

Kami tahu itu $E(\hat{F}_n(x))=F(x)$ dan $\text{Var}(\hat{F}_n(x))=\frac{F(x)(1-F(x))}{n}$

Saya harap saya mengerti apa yang saya dapatkan di sini, dan menghargai bantuan apa pun.

EDIT :

Metode Delta: Jika Anda memiliki urutan variabel acak $X_n$ memuaskan

,

dan $\theta$ dan $\sigma^2$ terbatas, maka yang berikut puas:

,

untuk setiap fungsi g memuaskan properti itu $g′(\theta)$ ada, tidak bernilai nol, dan secara polinomi terikat dengan variabel acak (kutipan wikipedia)

Saya tidak melihat cara menggunakan metode delta, tapi ...

Membaca tentang konvergensi fungsi distribusi empiris kita membaca bahwa teorema limit pusat memberi kita:

$\sqrt{n}(\hat{F}_n(x)-F(x)) \rightarrow \mathcal{N}(0,F(x)(1-F(x)))$

Kita dapat menggunakan ini untuk membuat CI bervariasi di sekitar masing-masing $\hat{F}_n(x)$:

$\hat{F}_n(x) \pm 1.96\frac{\hat{F}_n(x)(1-\hat{F}_n(x))}{n}$,

sejak $E(\hat{F}_n(x))=F(x)$, $\hat{F}_n(x)$ adalah estimasi terbaik kami $F(x)$.

Menggunakan kode-R berikut:

#confidenc ebands calculation:
sim_norm<-rnorm(100)
plot(sim_norm)
hist(sim_norm)
sim_norm_sort<-sort(sim_norm)
n = sum(!is.na(sim_norm_sort))
plot(sim_norm_sort, (1:n)/n, type = 's', ylim = c(0, 1), 
     xlab = 'sample', ylab = '', main = 'Empirical Cumluative Distribution')

# Dvoretzky–Kiefer–Wolfowitz inequality:
# P ( sup|F_n - F| > epsilon  ) leq 2*exp(-2n*epsilon^2)
# set alpha to 0.05 and alpha=2*exp(-2n*epsilon^2):
# --> epsilon_n = sqrt(-log(0.5*0.05)/(2*n))
#
#lower and upper bands:
L<-1:n
U<-1:n


  epsilon_i = sqrt(log(2/0.05)/(2*n))

  L=pmax(1:n/n-epsilon_i, 0)
  U=pmin(1:n/n+epsilon_i, 1)
  lines(sim_norm_sort, U, col="blue")
  lines(sim_norm_sort, L, col="blue")

#using clt:
U2=(1:n/n)+1.96*sqrt( (1:n/n)*(1-1:n/n)/n )
L2=(1:n/n)-1.96*sqrt( (1:n/n)*(1-1:n/n)/n )
lines(sim_norm_sort, L2, col="red")
lines(sim_norm_sort, U2, col="red")

Kita mendapatkan:

Kita melihat bahwa pita merah (dari metode CLT) memberi kita pita kepercayaan yang lebih sempit.

EDIT : Seperti yang ditunjukkan oleh @Kjetil B Halvorsen - kedua jenis band ini adalah tipe yang berbeda. Saya telah @Glen_b menjelaskan dengan tepat apa yang dia maksud:

Jenis band kepercayaan diri yang sangat berbeda. Dengan band percaya diri pointwise Anda akan mengharapkan sejumlah poin di luar band bahkan jika itu adalah distribusi dari mana data diambil. Dengan band simultan Anda tidak akan melakukannya. Jika Anda memiliki band 95% searah, rata-rata 5% dari poin untuk distribusi yang benar akan berada di luar band. Dengan band-band simultan, ada kemungkinan 5% bahwa titik dengan penyimpangan terbesar ada di luar.

Terima kasih banyak untuk keduanya!