Koefisien korelasi untuk distribusi seragam pada elips

Saat ini saya membaca sebuah makalah yang mengklaim bahwa koefisien korelasi untuk distribusi seragam di bagian dalam elips

f_{X, Y} (x, y) = {\begin{cases} konstan & jika (x, y) di dalam elips \\ 0 & jika tidak \end{cases}

$f_{X,Y} (x,y) = \begin{cases}\text{constant} & \text{if} \ (x,y) \ \text{inside the ellipse} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$

diberikan oleh

ρ = \sqrt{1 - {(\frac{h}{H})}^{2}}

$\rho = \sqrt{1- \left(\frac{h}{H}\right)^2 }$

di mana dan adalah ketinggian vertikal di pusat dan di ekstrem masing-masing. $h$ $H$

Penulis tidak mengungkapkan bagaimana dia mencapai itu dan sebaliknya hanya mengatakan bahwa kita perlu mengubah skala, memutar, menerjemahkan, dan tentu saja mengintegrasikan. Saya sangat ingin menelusuri kembali langkahnya tetapi saya agak bingung dengan semua itu. Karena itu saya akan berterima kasih atas beberapa petunjuk.

Terima kasih sebelumnya.

Oh, dan untuk catatan

Châtillon, Guy. "Balon menentukan estimasi kasar koefisien korelasi." The American Statistician 38.1 (1984): 58-60

Sangat lucu.

— JohnK
sumber

Bisakah Anda menuliskan ekspresi untuk elips? The "tinggi di ekstrim" tidak masuk akal untuk elips standar: karena memiliki ketinggian di ekstrem. Memang, jika terdistribusi secara seragam pada interior elips standar, maka .

\frac{x^{2}}{{Sebuah}^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

0

$0$

(X, Y)

$(X,Y)$

ρ = 0

$\rho = 0$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate Ya, saya mencoba case standar dan menghitung , tidak ada masalah di sana. Bagaimana dengan kasus-kasus lain, di mana Anda perlu mengukur, memutar dll?

ρ = 0

$\rho = 0$

— JohnK

Seluruh operasi tampak salah secara fundamental. Bagian "skala perubahan" menghancurkan keseragaman. Distribusi yang benar-benar seragam dicapai baik sebagai distribusi terbatas dalam buffer kurva sempit (Euclidean) atau seragam oleh arclength. Dalam kedua kasus konstanta normalisasi adalah fungsi elips lengkap dan tidak mungkin menyederhanakan ekspresi yang diberikan di sini. Saya tidak yakin apa arti dan , tetapi - sebagai contoh - koefisien korelasi untuk elips dengan sumbu utama dua kali sumbu minor, dimiringkan pada sudut , akan menjadi .

h

$h$

H

$H$

π / 6

$\pi/6$

0.78004

$0.78004$

— whuber

@whuber saya telah menyertakan gambar dari kertas yang menjelaskan apa yang dan berdiri, saya harap ini membuatnya lebih jelas.

h

$h$

H

$H$

— JohnK

Jika Anda ingin jawaban yang lengkap dan lengkap, maka Anda akan menemukannya di posting saya di stats.stackexchange.com/a/71303/919 . Lagipula, ketika elips berbentuk lingkaran, seragamnya (jelas) simetris sirkuler, jadi hampir semua yang ada di jawaban itu berlaku langsung. Secara khusus, dengan melihat elips bukan sebagai rotasi elips horisontal, tetapi sebagai transformasi miring, rumus untuk menjadi jelas, karena (menggunakan notasi di bagian "Cara Membuat Elips").

ρ

$\rho$

\sqrt{1 - ρ^{2}} = λ = h / H

$\sqrt{1-\rho^2}=\lambda = h/H$

— whuber

Biarkan didistribusikan secara seragam di bagian dalam elips mana dan adalah semi- sumbu elips. Kemudian, dan memiliki kepadatan marginal dan mudah untuk melihat bahwa . Juga, $(X,Y)$

\frac{x^{2}}{{Sebuah}^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

a

$a$

b

$b$

X

$X$

Y

$Y$

\begin{aligned} f_{X} (x) & = \frac{2}{π {Sebuah}^{2}} \sqrt{{Sebuah}^{2} - x^{2}} 1_{- Sebuah, Sebuah} (x), \\ f_{X} (x) & = \frac{2}{π b^{2}} \sqrt{b^{2} - y^{2}} 1_{- b, b} (y), \end{aligned}

$\begin{align} f_X(x) &= \frac{2}{\pi a^2}\sqrt{a^2-x^2}\,\,\mathbf 1_{-a,a}(x),\\ f_X(x) &= \frac{2}{\pi b^2}\sqrt{b^2-y^2}\,\,\mathbf 1_{-b,b}(y), \end{align}$

E [X] = E [Y] = 0

$E[X] = E[Y] = 0$

\begin{aligned} σ_{X}^{2} = E [X^{2}] & = \frac{2}{π {Sebuah}^{2}} \int_{Sebuah}^{Sebuah} x^{2} \sqrt{{Sebuah}^{2} - x^{2}} d x \\ = \frac{4}{π {Sebuah}^{2}} \int_{0}^{Sebuah} x^{2} \sqrt{{Sebuah}^{2} - x^{2}} d x \\ = \frac{4}{π {Sebuah}^{2}} \times {Sebuah}^{4} \frac{1}{2} \frac{Γ (3 / 2) Γ (3 / 2)}{Γ (3)} \\ = \frac{{Sebuah}^{2}}{4}, \end{aligned}

$\begin{align} \sigma_X^2 = E[X^2] &= \frac{2}{\pi a^2}\int_a^a x^2\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm dx\\ &= \frac{4}{\pi a^2}\int_0^a x^2\sqrt{a^2-x^2}\,\mathrm dx\\ &= \frac{4}{\pi a^2}\times a^4 \frac 12\frac{\Gamma(3/2)\Gamma(3/2)}{\Gamma(3)}\\ &= \frac{a^2}{4}, \end{align}$ dan demikian pula, . Akhirnya, dan adalah variabel acak tidak berkorelasi .

σ_{Y}^{2} = \frac{b^{2}}{4}

$\sigma_Y^2 = \frac{b^2}{4}$

X

$X$

Y

$Y$

Mari yang merupakan transformasi rotasi yang diterapkan ke . Kemudian, didistribusikan secara seragam di bagian dalam elips yang kapaknya tidak bertepatan dengan sumbu dan . Tetapi, mudah untuk memverifikasi bahwa dan adalah variabel acak dengan mean nol dan adalah Selanjutnya,

\begin{aligned} U & = X \cos θ - Y dosa θ \\ V & = X dosa θ + Y \cos θ \end{aligned}

$\begin{align} U &= X\cos \theta - Y \sin \theta\\ V &= X\sin \theta + Y \cos \theta \end{align}$

(X, Y)

$(X,Y)$

(U, V)

$(U,V)$

u

$u$

v

$v$

U

$U$

V

$V$

\begin{aligned} σ_{U}^{2} & = \frac{{Sebuah}^{2} \cos^{2} θ + b^{2} {dosa}^{2} θ}{4} \\ σ_{V}^{2} & = \frac{{Sebuah}^{2} {dosa}^{2} θ + b^{2} \cos^{2} θ}{4} \end{aligned}

$\begin{align} \sigma_U^2 &= \frac{a^2\cos^2\theta + b^2\sin^2\theta}{4}\\ \sigma_V^2 &= \frac{a^2\sin^2\theta + b^2\cos^2\theta}{4} \end{align}$

cov (U, V) = (σ_{X}^{2} - σ_{Y}^{2}) dosa θ \cos θ = \frac{{Sebuah}^{2} - b^{2}}{8} dosa 2 θ

$\operatorname{cov}(U,V) = (\sigma_X^2-\sigma_Y^2)\sin\theta\cos\theta = \frac{a^2-b^2}{8}\sin 2\theta$ dari mana kita bisa mendapatkan nilai .

ρ_{U, V}

$\rho_{U,V}$

Sekarang, elips yang interiornya terdistribusi secara merata memiliki persamaan $(U,V)$

\frac{(kamu \cos θ + v dosa θ)^{2}}{{Sebuah}^{2}} + \frac{(- kamu dosa θ + v \cos θ)^{2}}{b^{2}} = 1,

$\frac{(u \cos\theta + v\sin \theta)^2}{a^2} + \frac{(-u \sin\theta + v\cos \theta)^2}{b^2} = 1,$ yaitu, yang juga dapat dinyatakan sebagai Pengaturan in memberikan . sementara diferensiasi implisit sehubungan dengan memberi

(\frac{\cos^{2} θ}{{Sebuah}^{2}} + \frac{{dosa}^{2} θ}{b^{2}}) {kamu}^{2} + (\frac{{dosa}^{2} θ}{{Sebuah}^{2}} + \frac{\cos^{2} θ}{b^{2}}) v^{2} + ((\frac{1}{{Sebuah}^{2}} - \frac{1}{b^{2}}) dosa 2 θ) kamu v = 1,

$\left(\frac{\cos^2\theta}{a^2} + \frac{\sin^2\theta}{b^2}\right) u^2 + \left(\frac{\sin^2\theta}{a^2} + \frac{\cos^2\theta}{b^2}\right) v^2 + \left(\left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right)\sin 2\theta \right)uv = 1,$

\begin{matrix} (1) & σ_{V}^{2} \cdot {kamu}^{2} + σ_{U}^{2} \cdot v^{2} - 2 ρ_{U, V} σ_{U} σ_{V} \cdot kamu v = \frac{{Sebuah}^{2} b^{2}}{4} \end{matrix}

$\sigma_V^2\cdot u^2 + \sigma_U^2\cdot v^2 -2\rho_{U,V}\sigma_U\sigma_V\cdot uv = \frac{a^2b^2}{4}\tag{1}$

u = 0

$u = 0$

(1)

$(1)$

h = \frac{a b}{σ_{U}}

$\displaystyle h = \frac{ab}{\sigma_U}$

(1)

$(1)$

u

$u$

σ_{V}^{2} \cdot 2 kamu + σ_{U}^{2} \cdot 2 v \frac{d v}{d kamu} - 2 ρ_{U, V} σ_{U} σ_{V} \cdot (v + kamu \frac{d v}{d kamu}) = 0,

$\sigma_V^2\cdot 2u + \sigma_U^2\cdot 2v\frac{\mathrm dv}{\mathrm du} -2\rho_{U,V}\sigma_U\sigma_V\cdot \left(v + u\frac{\mathrm dv}{\mathrm du}\right) = 0,$ yaitu, garis singgung ke elips adalah horisontal pada dua titik pada elips di mana Nilai dapat diketahui dari ini, dan akan (jika saya tidak melakukan kesalahan dalam melakukan perhitungan di atas) akan mengarah pada hasil yang diinginkan.

(1)

$(1)$

(u, v)

$(u,v)$

ρ_{U, V} σ_{U} \cdot v = σ_{v} \cdot kamu .

$\rho_{U,V}\sigma_U\cdot v = \sigma_v\cdot u.$

H

$H$

— Dilip Sarwate
sumber

Itu adalah matriks rotasi ortogonal yang tepat, terima kasih.

— JohnK