Apa hubungan antara variabel kejadian dan acak?

Saya telah diberitahu bahwa suatu peristiwa hanyalah variabel acak yang telah ditetapkan, dan bahwa variabel acak adalah generalisasi peristiwa. Namun, saya tidak bisa mengaitkannya dengan definisi suatu peristiwa sebagai bagian dari ruang sampel . Selain itu, suatu peristiwa dapat terjadi atau tidak, sedangkan variabel acak dapat memiliki beberapa hasil.

Apakah peristiwa seperti variabel acak biner? Jika demikian, apakah setiap hasil dari variabel acak benar-benar suatu peristiwa?

Saya juga perlu tahu bagaimana kedua konsep ini berhubungan satu sama lain dalam hal kemerdekaan bersyarat.

— Stochastic
sumber

Jawaban:

Biarkan eksperimen diberikan oleh $\DeclareMathOperator{\P}{\mathbb{P}} \DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} (\mathbb{X},\mathbb{B}, \P)$ dimana $\mathbb{X}$ adalah ruang sampel, $\mathbb{B}$ adalah himpunan semua peristiwa (himpunan bagian dari $\mathbb{X}$ yang kami tentukan probabilitas) dan $\P$ adalah ukuran probabilitas. Poin dari $\mathbb{X}$ dilambangkan $\omega$ , dan merupakan "peristiwa dasar" (atau "hasil"). Variabel acak pada percobaan ini adalah fungsi $f \colon \mathbb{X}\mapsto \mathbb{R}$ dan ditulis seperti $f(\omega)$ , yang berarti bahwa nilainya ditentukan oleh hasil dasar $\omega$ .

Sesuai dengan acara tersebut $A$ adalah variabel indikator acak

{saya}_{SEBUAH} (ω) = {\begin{cases} 1 jika SEBUAH terjadi, yaitu, ω \in SEBUAH . \\ 0 jika SEBUAH jangan terjadi, yaitu ω \notin SEBUAH . \end{cases}

$I_A(\omega) = \begin{cases} 1 ~\text{if $A$ occurs, that is, $\omega\in A$.} \\ 0 ~\text{if $A$ do not occur, that is $\omega \not\in A$.} \end{cases}$ Dalam pengertian ini, peristiwa dapat disematkan sebagai himpunan bagian dari semua variabel acak yang ditentukan untuk pengaturan eksperimental ini. Maka probabilitas

A

$A$ Terjadi dapat ditulis sebagai harapan

P (SEBUAH) = E {saya}_{SEBUAH} .

$\P(A) = \E I_A.$

Untuk pertanyaan tambahan dalam komentar: Jika $A$ dan $B$ independen (sebagai peristiwa), kemudian $I_A$ dan $I_B$ bersifat independen (sebagai variabel acak). "dapatkah kita mengatakan bahwa I_A = 1 dan I_B = 1 independen?" Baik, $I_A=1$ hanyalah acara $A$ , jadi saya pikir Anda bisa menjawab sekarang!

— kjetil b halvorsen
sumber

Terima kasih, tetapi saya masih belum mengerti. Apa arti omega? Dan ini membawa saya pada pertanyaan: jika dua peristiwa A dan B bersifat independen, apakah kita mengatakan I_A dan I_B independen? Lebih penting lagi, dapatkah kita mengatakan bahwa I_A = 1 dan I_B = 1 independen?

— Stochastic

Jawaban yang bagus, tetapi saya tidak akan menggunakan istilah "acara dasar" karena mungkin bukan milik mereka

B

$\mathbb B$ . Istilah yang biasa adalah "hasil".

— Neil G

Itu hanya kemandirian acara.

I_{A} = i

$I_A=i$ adalah suatu peristiwa, dan sebagainya.

— kjetil b halvorsen

+1 Bagus! Periksa kalimat Anda "acara dapat tertanam sebagai himpunan bagian sebagai himpunan semua variabel acak yang ditentukan untuk pengaturan eksperimental ini". Juga beberapa ekspresi lateks tidak muncul pada akhirnya.

— Antoni Parellada

@drozzy:

A

$A$ adalah sebuah acara

I_{A}

$I_A$ adalah variabel acak indikator yang sesuai, ditentukan oleh

I_{A} (ω) = 1

$I_A(\omega)=1$ jika

ω \in A

$\omega \in A$ dan nol sebaliknya. "

A

$A$ Terjadi "berarti hasilnya

ω \in A

$\omega \in A$ , maka

I_{A} = 1

$I_A=1$ .

— kjetil b halvorsen

Ya, peristiwa seperti Boolean (Anda mengatakan biner tapi saya menganggap ini maksud Anda) variabel acak atau lebih tepatnya untuk setiap peristiwa ada variabel acak Boolean yang sesuai. Komunitas yang berbeda menggunakan terminologi yang sedikit berbeda (fungsi indikator, fungsi karakteristik, predikat) untuk hal yang sama, dan tipe output mungkin $\{0,1\}$ atau $\{False, True\}$ .

Anda mengangkat intinya:

suatu peristiwa dapat terjadi atau tidak sedangkan variabel acak dapat memiliki beberapa hasil.

Saya pikir teks probabilitas sering tidak cukup untuk menjelaskan mengapa aksioma probabilitas adalah cara mereka, jadi saya akan memberikan sedikit melambaikan tangan:

Misalkan Anda menemukan dasar-dasar teori probabilitas. Tusukan pertama Anda mungkin untuk mengatakan ada beberapa cara yang mungkin terjadi di dunia: $X$ , dan beberapa jenis fungsi yang menetapkan probabilitas untuk masing-masing kemungkinan ini $f: X \to [0,1]$ . Misalnya kita bisa mengatakan itu $X$ adalah himpunan angka 1 hingga 6 dari die roll dan $f(x) = 1/6$ .

Segera Anda akan menemukan ini sedikit membatasi karena Anda ingin berbicara tentang himpunan bagian dari dunia yang mungkin, yaitu bagaimana jika die roll lebih besar dari 3. Jadi Anda menyesuaikan teori Anda dan alih-alih menetapkan probabilitas untuk menetapkan $\mu: \mathcal{P}(X) \to [0,1]$ dimana $\mathcal{P}$ menunjukkan himpunan semua himpunan bagian. Masing-masing dari himpunan bagian yang Anda sebut peristiwa, dan ketika Anda mengatakan suatu peristiwa terjadi apa yang Anda maksud adalah bahwa dunia nyata ternyata menjadi salah satu dunia yang mungkin ada dalam peristiwa itu. $\mu$ tidak bisa hanya menetapkan probabilitas untuk ditetapkan secara sewenang-wenang, itu harus konsisten dengan $f$ dan akal sehat.

Anda hampir puas tetapi kemudian Anda menyadari ada hal-hal lain yang ingin Anda modelkan yang awalnya tidak diperhitungkan $X$ . Sebagai contoh, Anda ingin berbicara tentang probabilitas bahwa cetakan memantul tiga kali. Secara lebih umum, mengenakan topi filsuf Anda, Anda memutuskan tidak mungkin (atau setidaknya sangat sulit) untuk berbicara tentang dunia nyata, kita hanya dapat berbicara tentang pengamatan terbatas kita tentang itu. Jadi, bukannya Anda membangun objek baru $\Omega$ yang mewakili model yang lebih kaya di dunia (misalnya mungkin itu adalah simulasi fisik yang sangat akurat dari die rolling, atau bahkan seluruh alam semesta) tetapi Anda hanya diperbolehkan untuk membicarakannya dengan variabel acak.

Anda sekarang dapat mendefinisikan $X$ sebagai variabel acak (suatu fungsi $\Omega \to \mathbb{N}$ ), dan banyak lainnya yang masing-masing berbicara tentang properti yang menarik. Untuk setiap set hasil dari variabel acak (dengan hasil tunggal menjadi hanya kasus khusus) selalu ada set dunia yang sesuai yang mungkin (subset dari $\Omega$ ), acara.

— zenna
sumber

Untuk tujuan pemahaman, kami akan membatasi diri hingga ruang sampel terbatas.

Pertama sebagai jawaban atas pertanyaan Anda, tidak, hasil dari variabel acak bukanlah suatu peristiwa. Variabel acak mengambil sebagai inputnya elemen ruang sampel dan menghasilkan bilangan real.

Sebagai contoh, misalkan kita menggambar bola dari guci yang memiliki 3 bola berlabel A, B dan C. Ruang sampel semua bola di guci adalah S = {A, B, C}. Ada 8 kemungkinan peristiwa: {}, {A}, {B}, {C}, {A, B}, {A, C}, {B, C}, {A, B, C}. Acara {B, C} berarti bahwa bola yang ditarik adalah B atau C.

Variabel acak adalah fungsi bernilai nyata pada ruang sampel. Jika variabel acak X memberikan nilai 10 ke A, 10 ke B, dan 30 ke C, maka jika A digambarkan, nilai realisasi X adalah 10, bilangan real, bukan peristiwa.

Jika x adalah angka maka peristiwa yang berkaitan dengan X = x adalah himpunan elemen ruang sampel yang dipetakan oleh X ke x. Dalam contoh saat ini, peristiwa yang terkait dengan X = 10 adalah {A, B} karena A dan B dipetakan ke 10 dan C tidak.

Hubungan di atas antara variabel acak dan peristiwa meluas ke konsep lain. Sebagai contoh, variabel acak X dan Y adalah independen jika untuk setiap pasangan bilangan real x dan y peristiwa X = x dan Y = y adalah independen. Demikian pula X dan Y adalah bebas bersyarat yang diberikan Z jika peristiwa X = x dan Y = y adalah bebas bersyarat yang diberikan peristiwa Z = z.

(Saya mengasumsikan di sini bahwa pertanyaannya adalah tentang hubungan antara peristiwa dan variabel acak dan bukan tentang definisi probabilitas, independensi dan independensi bersyarat yang telah kita asumsikan.)

— G. Grothendieck
sumber