Jika dan , apakah ?

9

Ini bukan pekerjaan rumah.

Biarkan $X$ menjadi variabel acak. Jika $\mathbb{E}[X] = k \in \mathbb{R}$ dan $\text{Var}[X] = 0$ , apakah itu mengikuti $\Pr\left(X = k\right) = 1$ ?

Secara intuitif, ini tampak jelas, tetapi saya tidak yakin bagaimana saya akan membuktikannya. Saya tahu pasti bahwa dari asumsi, maka mengikuti $\mathbb{E}[X^2] = k^2$ . Jadi

{(\int_{R} x d F (x))}^{2} = \int_{R} x^{2} d F (x) .

$\left(\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x)\right)^2 = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)\text{.}$ Ini sepertinya tidak menuntun saya ke mana pun. Saya dapat mencoba

Var [X] = E [{(X - k)}^{2}] .

$\text{Var}[X] = \mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right]\text{.}$ Sekarang karena

{(X - k)}^{2} \geq 0

$\left(X - k\right)^2 \geq 0$ , berarti

E [{(X - k)}^{2}] \geq 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] \geq 0$ juga.

Tetapi jika saya menggunakan persamaan,

E [{(X - k)}^{2}] = 0

$\mathbb{E}\left[\left(X - k\right)^2\right] = 0$ maka naluri saya adalah bahwa

{(X - k)}^{2} \equiv 0

$\left(X - k\right)^2 \equiv 0$ , sehingga

X \equiv k

$X \equiv k$ .

Bagaimana saya tahu ini? Saya kira bukti dengan kontradiksi.

Jika, sebaliknya, $X \neq k$ untuk semua $X$ , maka $(X-k)^2 > 0$ , dan $\mathbb{E}[(X-k)^2] > 0$ untuk semua $X$ . Kami memiliki kontradiksi, jadi $X \equiv k$ .

Apakah bukti saya masuk akal - dan jika demikian, apakah mungkin ada cara yang lebih baik untuk membuktikan klaim ini?

probability

— Klarinetis
sumber

@ user777 Saya mencoba metode itu awalnya (seperti yang Anda lihat di persamaan), tetapi tidak yakin bagaimana untuk melanjutkan.

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

— Klarinetis

3

Saya percaya Ketimpangan Chebyshev menjawab pertanyaan ini dengan segera.

— whuber

@whuber: setidaknya pernyataan Wikipedia tentang ketidaksetaraan Chebyshev secara eksplisit membutuhkan varian yang tidak nol . Saya tidak benar-benar melihat apakah kita memerlukan semacam bukti dasar untuk kasus varians nol ...

— Stephan Kolassa

1

@Stephan Anda dapat dengan mudah mencampurkan distribusi nondegenerate dengan rentang dan menerapkan ketidaksetaraan untuk menunjukkan bahwa untuk semua dan semua .

(- δ, δ)

$(-\delta,\delta)$

Pr (| X - k | > δ) \leq ε

$\Pr(|X - k| \gt \delta) \le \varepsilon$

ε > 0

$\varepsilon \gt 0$

δ > 0

$\delta \gt 0$

— whuber

6

Berikut ini adalah ukuran bukti teoritik untuk melengkapi yang lain, hanya menggunakan definisi. Kami bekerja pada ruang probabilitas . Perhatikan bahwa dan pertimbangkan integral . Misalkan untuk beberapa , ada sehingga pada dan . Kemudian mendekati dari bawah, jadi dengan definisi standar sebagai supremum integral fungsi-fungsi sederhana yang mendekati dari bawah, $(\Omega, \mathcal F, P)$ $Y:=(X - \mathbb EX)^2 \geq 0$ $\mathbb EY :=\int Y(\omega) P(d\omega)$ $\epsilon>0$ $A\in \mathcal F$ $Y>\epsilon$ $A$ $P(A)>0$ $\epsilon I_A$ $Y$ $\mathbb E Y$

E Y \geq \int ϵ I_{A} P (d ω) = ϵ P (A) > 0,

$\mathbb EY\geq \int\epsilon I_AP(d\omega) = \epsilon P(A)>0,$ yang merupakan kontradiksi. Jadi, , . Selesai

\forall ϵ > 0

$\forall \epsilon>0$

P ({ω : Y > ϵ}) = 0

$P\left(\{\omega : Y>\epsilon \}\right) = 0$

— ekvall
sumber

5

Buktikan ini dengan kontradiksi. Dengan definisi varians dan asumsi Anda, Anda miliki

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx,$

di mana adalah densitas probabilitas . Perhatikan bahwa keduanya dan adalah tidak negatif. $f$ $X$ $(x-k)^2$ $f(x)$

Sekarang, jika , maka $P(X=k)<1$

U := (R ∖ {k}) \cap f^{- 1} (] 0, \infty [)

$U:=\big(\mathbb{R}\setminus\{k\}\big)\cap f^{-1}\big(]0,\infty[\big)$

memiliki ukuran lebih besar dari nol, dan . Tapi kemudian $k\notin U$

\int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$\int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

(beberapa argumen style dapat dimasukkan di sini) dan karenanya $\epsilon$

0 = Var X = \int_{R} (x - k)^{2} f (x) d x \geq \int_{U} (x - k)^{2} f (x) d x > 0,

$0 =\text{Var}X = \int_\mathbb{R} (x-k)^2\,f(x)\,dx \geq \int_U (x-k)^2\,f(x)\,dx > 0,$

dan kontradiksi Anda.

— Stephan Kolassa
sumber

2

Apa itu ? Apakah itu sama dengan as? $X \equiv k$ $X = k$

ETA: Iirc, $X \equiv k \iff X(\omega) = k \ \forall \ \omega \in \Omega \to X=k \ \text{a.s.}$

Lagi pula, jelas itu

(X - E [X])^{2} \geq 0

$(X-E[X])^2 \ge 0$

Seharusnya

E [X - E [X])^{2}] = 0

$E[X-E[X])^2] = 0$

Kemudian

(X - E [X])^{2} = 0 a.s.

$(X-E[X])^2 = 0 \ \text{a.s.}$

Langkah terakhir yang saya percaya melibatkan kesinambungan probabilitas ... atau apa yang Anda lakukan (Anda benar).

Ada juga Ketimpangan Chebyshev :

$\forall \epsilon > 0$ ,

P (| X - k | \geq ϵ) \leq \frac{0}{ϵ^{2}} = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) \le \frac{0}{\epsilon^2} = 0$

P (| X - k | \geq ϵ) = 0

$P(|X-k| \ge \epsilon) = 0$

\to P (| X - k | < ϵ) = 1

$\to P(|X-k| < \epsilon) = 1$

Senang berbicara lagi .

Btw kenapa begitu

\int_{R} x d F (x) = \int_{R} x^{2} d F (x)

$\int_{\mathbb{R}}x\text{ d}F(x) = \int_{\mathbb{R}}x^2\text{ d}F(x)$

?

Sepertinya saya bahwa sementara $LHS = k$ $RHS = k^2$

— BCLC
sumber

1

Yap, kamu benar. Saya telah mengedit posting

— Klarinetis

@Clarinetist Diedit milik saya juga: P

— BCLC