Saya akan membuat sketsa solusinya, di sini menggunakan sistem aljabar komputer untuk melakukan seluk-beluk ...
Larutan
Jika adalah sampel ukuran pada induk , maka pdf dari sampel maksimum adalah: dan juga untuk . n X ∼ Seragam ( 0 , a ) f n ( x ) = nX1,...,XnnX∼Uniform(0,a)Y
fn(x)=nanxn−1
Y
Pendekatan 1: Temukan pdf gabungan dari(X(n),Y(n))
Karena dan bersifat independen, pdf gabungan dari 2 sampel maksimum hanyalah produk dari 2 pdf, katakanlah :Y ( X ( n ) , Y ( n ) ) f ( n ) ( x , y )XY(X(n),Y(n))f(n)(x,y)
Diberikan . Kemudian, cdf dari adalah adalah: ZnP(Zn<z)Zn=nlogmax(Y(n),X(n))min(Y(n),X(n))ZnP(Zn<z)
di mana saya menggunakan Prob
fungsi dari paket mathStatica untuk Mathematica untuk mengotomatisasi. Membedakan cdf wrt menghasilkan pdf sebagai standar Eksponensial.Z nzZn
Pendekatan 2: Statistik pesanan
Kita dapat menggunakan statistik pesanan untuk 'by-pass' mekanisme karena harus berurusan dengan fungsi Max dan Min.
Sekali lagi: Jika adalah contoh ukuran pada induk , maka pdf dari sampel maksimum adalah, katakan, : n X ∼ Seragam ( 0 , a ) W = X ( n ) f n ( w )X1,...,XnnX∼Uniform(0,a)W=X(n)fn(w)
Sampel maksimum dan hanyalah dua gambar independen dari distribusi ; yaitu statistik pesanan dan dari (dalam sampel ukuran 2) persis seperti yang kami cari:X(n)Y(n)W1st2ndW
W(1)=min(Y(n),X(n))
W(2)=max(Y(n),X(n))
Pdf gabungan dari , dalam sampel ukuran 2, misalkan , Adalah:(W(1),W(2))g(.,.)
Diberikan . Kemudian, cdf dari adalah adalah: ZnP(Zn<z)Zn=nlogmax(Y(n),X(n))min(Y(n),X(n))ZnP(Zn<z)
Keuntungan dari pendekatan ini adalah bahwa perhitungan probabilitas tidak lagi melibatkan fungsi max / min, yang dapat membuat derivasi (terutama dengan tangan) agak lebih mudah untuk diekspresikan.
Lain
Sesuai komentar saya di atas, tampaknya Anda salah menafsirkan pertanyaan ...
Kami diminta untuk menemukan:
Zn=nlogmax(Y(n),X(n))min(Y(n),X(n))
di mana penyebut adalah min (xmax, ymax), ... tidak minimal semua 's dan ' s.YXY