Apakah transformasi monoton yang dapat dibalik dari interval kepercayaan memberi Anda interval kepercayaan (pada tingkat yang sama) di ruang yang diubah?

Seharusnya

(a, b)

$(a,b)$

adalah interval kepercayaan level untuk parameter . Misalkan adalah transformasi monoton yang tidak dapat dibalik. Lalu, adalah $(1-\alpha)$ $\theta$ $\eta$

(η (a), η (b))

$\left (\eta(a), \eta(b) \right )$

a tingkat interval kepercayaan untuk ? Asumsikan parameter dan titik akhir interval kepercayaan adalah bilangan real. $(1-\alpha)$ $\eta(\theta)$

Jawabannya tampaknya secara intuitif adalah "Ya" untuk alasan yang sama dengan mengapa Anda dapat mengubah variabel acak melakukan hal-hal seperti, jika , maka $Y = g(X)$

P (Y \leq y) = P (g (X) \leq y) = P (X \leq g^{- 1} (y))

$P( Y \leq y ) = P( g(X) \leq y ) = P(X \leq g^{-1}(y) )$

Mungkin juga terkait dengan teorema pemetaan berkelanjutan, seperti yang diterapkan pada MLE.

Ini bukan pekerjaan rumah dan akan muncul dalam konteks apakah saya dapat membuat 95% untuk peluang log, lalu kembali-ubah dan sebutlah 95% untuk probabilitas.

Terima kasih

confidence-interval

— Blak-blakan
sumber

Menurut definisi interval kepercayaan, (dengan dan dipandang sebagai variabel acak). Jadi, bagaimana hubungan dan ?

Pr (θ \in (a, b)) = 1 - α

$\Pr(\theta\in (a,b))=1-\alpha$

a

$a$

b

$b$

Pr (θ \in (a, b))

$\Pr(\theta\in (a,b))$

Pr (η (θ) \in (η (a), η (b)))

$\Pr(\eta(\theta)\in (\eta(a),\eta(b)))$

— Whuber

Saya pikir saat Anda menuliskan definisi formal "monoton" Anda akan melihat solusinya.

— whuber

Terapkan apa yang baru saja Anda tulis ke dan ke untuk menyimpulkan himpunan nilai yang juga merupakan himpunan nilai yang . Jika Anda menghitung probabilitas subset nilai persis sama dalam setiap kasus ... pasti probabilitasnya harus sama. [Jika Anda dapat melihatnya untuk , apa yang berbeda sekarang?]

b > X

$b>X$

X > a

$X>a$

a < X < b

$a<X<b$

η (a) < η (X) < η (b)

$\eta(a) < \eta(X) < \eta(b)$

X

$X$

η (X) = X^{2}

$\eta(X)=X^2$

— Glen_b -Reinstate Monica

Masalahnya mungkin timbul karena bagaimana Anda menafsirkan CI yang dihasilkan. Jika Anda mengambil CI untuk mean dan mengubahnya, itu masih CI yang valid, tapi itu bukan CI untuk rata-rata pada skala yang diubah, itu CI untuk mean yang diubah (hal yang sangat berbeda). .eg. Jika saya mengambil log, pas model menemukan CI untuk rata-rata pada skala log, saya bisa mengubah interval itu kembali dengan cukup bahagia, tapi itu bukan CI untuk rata-rata pada skala tanpa log asli , tetapi CI untuk eksponensial mean-of-logs ..

— Glen_b -Reinstate Monica

Tolong beri jawaban untuk pertanyaan Anda. (Itu akan sia-sia bagi whuber atau saya sendiri untuk mendapatkan reputasi karena menjawab pertanyaan yang dapat Anda jawab.)

— Glen_b -Reinstate Monica

Ya, karena

P (a < X < b) = P (η (a) < η (X) < η (b))

$P(a < X < b) = P \Big( \eta(a) < \eta(X) < \eta(b) \Big)$

untuk variabel acak dan monoton yang benar-benar meningkatkan fungsi, . Dengan argumen yang sama, jika adalah fungsi monoton yang benar-benar menurun, maka interval yang diubah menjadi . $X$ $\eta$ $\eta$ $(\eta(b),\eta(a))$

— Blak-blakan
sumber

Saya tahu OP menyebutkan monoton dan tidak dapat dibalik, jadi untuk kelengkapan, katakan saja peningkatan monoton secara ketat, karena jika tidak, ini tidak akan benar.

— Alex R.