Mengapa distribusi Poisson dipilih untuk memodelkan proses kedatangan dalam masalah teori Antrian?

Ketika kita mempertimbangkan skenario teori Antrian di mana individu tiba ke node penayangan dan mengantri, biasanya proses Poisson digunakan untuk memodelkan waktu kedatangan. Skenario ini muncul dalam masalah perutean jaringan. Saya menghargai penjelasan intuitif mengapa proses Poisson paling cocok untuk memodelkan kedatangan.

poisson-distribution intuition queueing

— Vighnesh
sumber

Jawaban:

Proses Poisson melibatkan waktu tunggu "tanpa memori" sampai kedatangan pelanggan berikutnya. Misalkan waktu rata-rata dari satu pelanggan ke pelanggan berikutnya adalah . Distribusi probabilitas berkesinambungan tanpa memori hingga kedatangan berikutnya adalah probabilitas di mana probabilitas menunggu satu menit tambahan, atau detik, atau jam, dll., Hingga kedatangan berikutnya, tidak tergantung pada berapa lama Anda telah menunggu sejak yang terakhir . Bahwa Anda sudah menunggu lima menit sejak kedatangan terakhir tidak membuatnya lebih mungkin bahwa pelanggan akan tiba di menit berikutnya, daripada jika Anda hanya menunggu 10 detik sejak kedatangan terakhir. $\theta$

Ini secara otomatis menyiratkan bahwa waktu tunggu sampai kedatangan berikutnya memenuhi , yaitu distribusi eksponensial. $T$ $\Pr(T>t) = e^{-t/\theta}$

Dan yang pada gilirannya dapat ditunjukkan untuk menyiratkan bahwa jumlah pelanggan tiba selama setiap interval waktu panjang memenuhi $X$ $t$ , yaitu memiliki distribusi Poisson dengan nilai yang diharapkan. Selain itu, ini menyiratkan bahwa jumlah pelanggan yang tiba dalam interval waktu yang tidak tumpang tindih secara probabilitas independen. $\Pr(X=x) = \dfrac{e^{-t/\theta} (t/\theta)^x}{x!}$ $t/\theta$

Jadi ingatan akan waktu tunggu mengarah ke proses Poisson.

— Michael Hardy
sumber

Apa pun yang dikatakan teorema, itu adalah fakta eksperimental bahwa — dalam situasi normal — kedatangan adalah tanpa memori. Anda tidak dapat membuktikan bahwa jumlah pelanggan yang tiba dalam periode tertentu tidak ada, sungguh.

Maksud dari pertanyaan itu bukan untuk meminta bukti formal. Banyak kali, pengamatan dilakukan yang mengarah pada teorema dan kemudian intuisi 'dikembangkan' agar sesuai dengan pengamatan dan dengan demikian membantu memperkuat teorema dalam pemahaman populer. Saya mencari sesuatu yang serupa. Telah mengedit pertanyaan saya untuk memasukkan hal yang sama.

— Vighnesh

Terima kasih atas jawabannya. Saya tidak cukup mengikuti bagaimana memori kurang kedatangan mengarah ke

. Bisakah Anda menjelaskan atau mengutip referensi yang membicarakan hal ini secara terperinci. Terima kasih.

Pr (T > t) = e^{- t / θ}

$\Pr(T>t) = e^{-t/\theta}$

— Vighnesh

Memorylessness mengatakan

. Itu sama dengan

. Acara

sama dengan acara

Pr (T > t + s ∣ T > t) = Pr (T > s)

$\Pr(T>t+s\mid T>t) = \Pr(T>s)$

Pr (T > t + s and T > t) = Pr (T > s)

$\Pr(T>t+s\text{ and }T>t) = \Pr(T>s)$

[T > t + s and T > t]

$[T>t+s\text{ and }T>t]$

. Karenanya probabilitas bersyarat adalah

. Memorylessness mengatakan ini sama dengan

. Karenanya kita memiliki

. Fungsi monoton

yang memuaskan

T > t + s

$T>t+s$

Pr (T > t + s) / Pr (T > t)

$\Pr(T>t+s)/\Pr(T>t)$

Pr (T > s)

$\Pr(T>s)$

Pr (T > t + s) = Pr (T > t) Pr (T > s)

$\Pr(T>t+s)=\Pr(T>t)\Pr(T>s)$

g

$g$

adalah fungsi eksponensial. Dan monotocity mengikuti dari fakta bahwa

harus kurang dari

karena peristiwa sebelumnya menyiratkan, tetapi tidak tersirat oleh, yang terakhir.

g (t + s) = g (t) g (s)

$g(t+s)=g(t)g(s)$

Pr (T > t + s)

$\Pr(T>t+s)$

Pr (T > t)

$\Pr(T>t)$

— Michael Hardy

Bukankah seharusnya

Pr (T > t) = 1 / θ * e^{- t / θ}

$\Pr(T>t) = 1/\theta*e^{-t/\theta}$

— vonjd

Cukup banyak intro teori antrian atau buku proses stokastik akan membahas hal ini, misalnya, Ross, Proses Stochastic, atau Kleinrock, Teori Antrian.

Untuk garis besar bukti bahwa kedatangan tanpa memori menyebabkan distribusi eksponensial:

Misalkan G (x) = P (X> x) = 1 - F (x). Sekarang, jika distribusinya tidak memiliki memori,

G (s + t) = G (s) G (t)

yaitu, probabilitas bahwa x> s + t = probabilitas bahwa ia lebih besar dari s, dan sekarang, lebih besar dari s, lebih besar dari (s + t). Properti tanpa memori berarti bahwa probabilitas kedua (bersyarat) sama dengan probabilitas bahwa rv berbeda dengan distribusi yang sama> t.

Mengutip Ross:

"Satu-satunya solusi dari persamaan di atas yang memenuhi segala kondisi yang wajar, (seperti monotonisitas, kontinuitas kanan atau kiri, atau bahkan pengukuran), adalah dalam bentuk:"

G (x) = exp (-ax) untuk beberapa nilai a yang sesuai.

dan kami berada di distribusi Eksponensial.

— Jbowman
sumber

DRAFT PROSES STOKASTIK Robert Gallager: TEORI UNTUK APLIKASI ( rle.mit.edu/rgallager/notes.htm ) adalah alternatif bebas yang baik untuk pengenalan proses stokastik termasuk diskusi proses Poisson

— Martin Van der Linden

RAFT OF STOCHASTIC PROSESES Robert Gallager: TEORI APLIKASI

— Martin Van der Linden