Teorema Bayes dengan berbagai kondisi

Saya tidak mengerti bagaimana persamaan ini diturunkan.

$P(I|M_{1}\cap M_{2}) \leq \frac{P(I)}{P(I')}\cdot \frac{P(M_{1}|I)P(M_{2}|I)}{P(M_{1}|I')P(M_{2}|I')}$

Persamaan ini berasal dari makalah "Trial by Probability" di mana kasus OJ Simpson diberikan sebagai contoh masalah. Terdakwa sedang diadili karena pembunuhan ganda dan dua bukti diajukan terhadapnya.

$M_{1}$ adalah peristiwa darah terdakwa cocok dengan setetes darah yang ditemukan di TKP. adalah peristiwa darah korban cocok dengan darah pada kaus kaki milik terdakwa. Dengan asumsi bersalah, kemunculan satu bukti meningkatkan kemungkinan yang lain. adalah acara dimana terdakwa tidak bersalah sedangkan adalah ketika dia bersalah. $M_{2}$ $I$ $I'$

Kami mencoba untuk mendapatkan MENDAPATKAN probabilitas bahwa terdakwa tidak bersalah mengingat dua bukti.

Nilai untuk beberapa variabel diberikan tetapi yang saya minati adalah bagaimana persamaan itu diturunkan. Saya mencoba tetapi tidak berhasil.

Ya, saya sudah memeriksa 'Pertanyaan yang mungkin sudah memiliki jawaban Anda'.

bayesian conditional-probability bayes

— Sakurabe
sumber

Apa arti dari ? Apakah ini ?

I^{'}

$I^\prime$

I^{c}

$I^\text{c}$

— Xi'an

@ Xi'an ya adalah dalam notasi lain

I^{'}

$I'$

I^{c}

$I^{c}$

— Sakurabe

Dengan Bayor 'Theorem: Sekarang makalah yang Anda berikan berargumen itu

\begin{aligned} P (I ∣ M_{1} \cap M_{2}) & = \frac{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I)}{P (M_{1} \cap M_{2})} \\ = \frac{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I)}{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) + P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} . \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(M_1\cap M_2)}\\&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}.\end{align*}$

Jika benar, maka dan independen. Tetapi dengan asumsi rasa bersalah, terjadinya satu akan meningkatkan kemungkinan yang lain. $I$ $M_1$ $M_2$

Jadi dan Karenanya,

\begin{matrix} (1) & P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) = P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I), \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I)=P(M_1\mid I)P(M_2\mid I),\label{eq1}\tag{1}$

\begin{matrix} (2) & P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'}) = P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'}) \geq P (M_{1} ∣ I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'}) . \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I')=P(M_1\mid M_2\cap I')P(M_2\mid I')\geq P(M_1\mid I')P(M_2\mid I').\label{eq2}\tag{2}$

\begin{aligned} P (I ∣ M_{1} \cap M_{2}) & = \frac{P (I) P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (I) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I) + P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} & (Substitute with (1)) \\ \leq \frac{P (I) P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (I^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})} & (Lesser Denominator) \\ \leq \frac{P (I)}{P (I^{'})} \cdot \frac{P (M_{1} ∣ I) P (M_{2} ∣ I)}{P (M_{1} ∣ I^{'}) P (M_{2} ∣ I^{'})} . & (Substitute with (2)) \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Substitute with \eqref{eq1})}\\&\leq\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Lesser Denominator)}\\&\leq\frac{P(I)}{P(I')}\cdot\frac{P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(M_1\mid I')P(M_2\mid I')}.&& \text{(Substitute with \eqref{eq2})} \end{align*}$

Untuk memperoleh , perhatikan dan karena kemunculan akan meningkatkan probabilitas : $\eqref{eq2}$

\begin{aligned} \frac{P (M_{1} \cap M_{2} ∣ I^{'})}{P (M_{2} ∣ I^{'})} & = \frac{P (M_{1} \cap M_{2} \cap I^{'}) / P (I^{'})}{P (M_{2} \cap I^{'}) / P (I^{'})} \\ = \frac{P (M_{1} \cap M_{2} \cap I^{'})}{P (M_{2} \cap I^{'})} \\ = P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{P(M_1\cap M_2\mid I')}{P(M_2\mid I')}&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')/P(I')}{P(M_2\cap I')/P(I')}\\&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')}{P(M_2\cap I')}\\&=P(M_1\mid M_2\cap I')\end{align*}$

M_{2}

$M_2$

M_{1}

$M_1$

P (M_{1} ∣ M_{2} \cap I^{'}) \geq P (M_{1} ∣ I^{'})

$P(M_1\mid M_2\cap I')\geq P(M_1\mid I')$

— Francis
sumber

Pertama-tama saya ingin mengucapkan terima kasih karena telah meluangkan waktu untuk membantu. Tapi saya masih agak bingung. Bisakah Anda menambahkan nomor persamaan dan menunjukkan di mana Anda menerapkan persamaan sebelumnya dalam penggantian berikutnya? Hal-hal mulai masuk akal tetapi saya masih belum mendapatkan ketidaksetaraan setelah 'dan', dan bagian di mana Anda mengganti dalam penyebut dan semuanya menjadi ketidaksetaraan. Saya menduga penjelasan tentang bagaimana argumen yang dikutip dari makalah ini diterjemahkan secara matematis akan membantu. Terima kasih lagi!

— Sakurabe

@ Sakurabe: lebih baik?

— Francis

Oke, sekarang saya mengerti bagaimana bukti saling memperkuat. Pertanyaan terakhir, apakah kita baru saja menjatuhkan dari penyebut? Seperti jatuh tanpa teorema atau apa pun? Maksud saya, itu masuk akal karena tidak akan membalikkan ketidaksetaraan yang dihasilkan dari (2) ditambah juga apa yang saya asumsikan mereka lakukan dalam contoh sebelumnya dalam makalah yang hanya melibatkan satu bukti DNA (dengan +1 pada penyebutnya) ). Terima kasih, saya sangat menghargai bantuan Anda.

P (I) P (M_{1} \cap M_{2} | I)

$P(I)P(M_{1}\cap M_{2}|I)$

— Sakurabe

@ Sakurabe: Ya, karena istilah itu tidak negatif, jadi menjatuhkannya akan menurunkan penyebutnya.

— Francis