Masalah warna bohlam lampu

8

Silakan lihat terlebih dahulu masalah kecil berikut ini:

Ada dua bola lampu yang tidak bisa dibedakan A dan B. Sebuah lampu merah berkedip dengan prob .8 dan biru dengan prob .2; B merah dengan .2 dan biru .8. Sekarang dengan 0,5 prob Anda disajikan dengan A atau B. Anda seharusnya mengamati warna flash untuk membuat tebakan terbaik (memaksimalkan probabilitas tebakan yang benar) bohlam itu. Namun, sebelum Anda mulai melakukan pengamatan, Anda harus memutuskan berapa kali Anda ingin mengobservasinya (katakanlah n kali, lalu amati ia berkedip n kali dan tebak). Misalkan blitz independen.

Secara intuitif, orang akan berpikir semakin banyak pengamatan yang dilakukan, semakin besar peluang seseorang. Anehnya, perhitungan mudah untuk menunjukkan bahwa n = 2 tidak membaik pada n = 1, dan n = 4 tidak membaik pada n = 3. Saya tidak melangkah lebih jauh tetapi saya berspekulasi n = 2k tidak membaik saat n = 2k-1. Saya tidak dapat membuktikannya untuk kasus umum. Tetapi apakah itu benar? Jika demikian, bagaimana orang dapat secara intuitif memahami hasilnya?

bayesian binomial

— Eric
sumber

10

Anda benar: tidak membaik pada dalam kasus simetris ini. $n=2k$ $n=2k-1$

Jelas strategi optimalnya adalah dengan melihat jumlah blitz merah dan biru dan pilih A atau B sesuai dengan warna yang lebih banyak muncul. Jika nomor yang sama muncul dari masing-masing, itu tidak membuat perbedaan yang Anda duga, karena peluang Anda untuk benar adalah dalam situasi itu. $0.5$

Jika ada mayoritas satu warna setelah berkedip maka mayoritas harus genap dan minimal 2, sehingga warna juga memiliki mayoritas minimal 1 setelah berkedip. Jika ada persamaan setelah berkedip, maka memilih warna dengan mayoritas setelah berkedip sama baiknya dengan aturan keputusan lainnya dalam situasi ini. Jadi dengan jumlah blitz yang genap, blitz terakhir tidak membantu Anda meningkatkan perubahan tebakan dengan benar. $2k$ $2k-1$ $2k$ $2k-1$

— Henry
sumber

@ Henry: "Jika ada mayoritas satu warna setelah 2k berkedip maka mayoritas harus genap dan setidaknya 2" Saya mungkin salah paham maksud Anda, tetapi mengapa harus genap? Sebagai contoh jika k = 10 dan merah diamati 11 kali dan biru 9 kali, dari mana kemerataan berasal?

— Eric

@Eric: yang merupakan bilangan genap. Jika maka yang genap.

11 - 9 = 2

$11-9=2$

a + b = 2 k

$a+b=2k$

a - b = 2 (k - b)

$a-b=2(k-b)$

— Henry

2

Untuk menjawab dengan cara yang ketat, masalah ini bermuara pada mengamati jumlah blitz merah yang merupakan binomial (A) atau binomial (B), dengan probabilitas untuk masing-masing. Probabilitas memilih bohlam A dengan demikian diberikan oleh teorema Bayes jadi ini adalah Karenanya A (resp. B) dipilih ketika (resp. ). Jadi, ketika $X$ $\mathcal{B}(n,.8)$ $\mathcal{B}(n,.8)$ $0.5$

P (b = A | X = x) = \frac{P (X = x | b = A)}{P (X = x | b = A) + P (X = x | b = B)}

$\mathbb{P}(b=A|X=x) = \dfrac{\mathbb{P}(X=x|b=A)}{\mathbb{P}(X=x|b=A)+\mathbb{P}(X=x|b=B)}$

P (b = A | X = x) = \frac{(\binom{n}{x}) {0.8}^{x} {0.2}^{n - x}}{(\binom{n}{x}) {0.8}^{x} {0.2}^{n - x} + (\binom{n}{x}) {0.2}^{x} {0.8}^{n - x}} = \frac{1}{1 + 4^{n - 2 x}}

$\mathbb{P}(b=A|X=x) = \dfrac{{n \choose x} 0.8^x 0.2^{n-x}}{{n \choose x} 0.8^x 0.2^{n-x}+{n \choose x} 0.2^x 0.8^{n-x}}=\dfrac{1}{1+4^{n-2x}}$

n - 2 x < 0

$n-2x<0$

n - 2 x > 0

$n-2x>0$

n = 2 k - 1

$n=2k-1$ , probabilitas untuk memilih A dengan benar adalah

P (X > (2 k - 1) / 2 | b = A) = P (X \geq k | b = A) = \sum_{x = k}^{2 k - 1} (\binom{2 k - 1}{x}) {0.8}^{x} {0.2}^{2 k - 1 - x} .

$\mathbb{P}(X>(2k-1)/2|b=A) = \mathbb{P}(X\ge k|b=A) =\sum_{x=k}^{2k-1} {2k-1 \choose x} 0.8^x 0.2^{2k-1-x}\,.$

— Xi'an
sumber

: Itu membantu. Ini rumus yang sama seperti di sini stats.stackexchange.com/questions/18975/… , hanya dalam notasi yang sedikit berbeda. Tetapi untuk melengkapi bukti yang ketat ini, Anda masih harus menunjukkan dan memiliki probabilitas benar yang sama.

n = 2 k

$n=2k$

n = 2 k - 1

$n=2k-1$

— Eric

1

Ini dilakukan sebagai jawaban atas pertanyaan Anda yang lain, <a href=" stats.stackexchange.com/questions/18975/… untuk persamaan binomial</a>

— Xi'an

1

Perhatikan juga bahwa pertanyaan Anda yang lain ini hanya memberikan rumus terakhir, sementara jawaban saya menjelaskan mengapa kami mencapai rumus ini.

— Xi'an