Apakah hipotesis nol dan alternatif harus lengkap atau tidak?

Saya melihat berkali-kali klaim bahwa mereka harus lengkap (contoh-contoh dalam buku-buku seperti itu selalu diatur sedemikian rupa, bahwa mereka memang), di sisi lain saya juga melihat banyak kali buku-buku yang menyatakan mereka harus eksklusif ( misalnya sebagai dan sebagai ) tanpa mengklarifikasi masalah lengkap. Hanya sebelum mengetik pertanyaan ini, saya menemukan pernyataan yang lebih kuat di halaman Wikipedia - "Alternatif tidak perlu negasi logis dari hipotesis nol". $\mathrm{H}_{0}$ $\mu_1=\mu_2$ $\mathrm{H}_{1}$ $\mu_1>\mu_2$

Bisakah seseorang yang lebih berpengalaman menjelaskan mana yang benar, dan saya akan berterima kasih karena memberi penjelasan tentang (historis?) Alasan perbedaan tersebut (buku-buku itu ditulis oleh ahli statistik, yaitu ilmuwan, bukan filsuf).

hypothesis-testing

— Greenoldman
sumber

Jawaban:

Pada prinsipnya, tidak ada alasan untuk hipotesis menjadi lengkap. Jika tes adalah tentang parameter dengan menjadi pembatasan , alternatif dapat berupa segala bentuk selama $\theta$ $H_0$ $\theta\in\Theta_0$ $H_a$ $\theta\in\Theta_a$

Θ_{0} \cap Θ_{a} = \emptyset .

$\Theta_0\cap\Theta_a=\emptyset.$

Contoh mengapa kelengkapan tidak masuk akal adalah ketika membandingkan dua keluarga model, versus . Dalam kasus seperti itu, kelelahan tidak mungkin, karena alternatif kemudian harus mencakup semua model probabilitas yang mungkin. $H_0:\ x\sim f_0(x|\theta_0)$ $H_a:\ x\sim f_1(x|\theta_1)$

— Xi'an
sumber

Terima kasih, apakah Anda tahu secara kebetulan mengapa begitu umum untuk melihat persyaratan menjadi lengkap ini? Terlepas dari kesalahpahaman sederhana, karena ini akan menjadi salah satu kesalahpahaman paling umum :-).

— greenoldman

Saya tidak mengerti contohnya. Ketika Anda membandingkan dua keluarga model dan antara mereka tampak melelahkan setiap model yang mungkin dalam keluarga. Jika Anda membiarkan nol dan alternatif untuk tidak mencakup setiap model seperti itu, Anda mempersulit proses mengevaluasi risiko teoretis keputusan tes (baik secara teori maupun dalam praktik).

H_{0}

$H_0$

H_{a}

$H_a$

— whuber

@whuber: Anda salah membaca contoh saya. Seperti yang ditulis di atas, alternatif dibuat dari keluarga model yang terdefinisi dengan baik, di mana seluruh rangkaian nilai yang mungkin, daripada dibuat dari semua model probabilitas yang mungkin. Karena itu ini tidak lengkap. Ini adalah kritik yang diajukan terhadap pendekatan Bayesian untuk pengujian, lihat misalnya filsuf ilmu pengetahuan, Deborah Mayo, dalam Error and Inference

H_{a}

$H_a$

θ_{1}

$\theta_1$

— Xi'an

Saya pikir saya membaca contoh Anda dengan benar, Xi'an, tetapi jelas saya sedang berjuang dengan apa yang Anda maksud dengan "lengkap." Penggunaannya dalam jawaban dan komentar Anda tampaknya berarti "termasuk semua distribusi probabilitas," tetapi dalam sebagian besar situasi pengujian hipotesis ini tidak relevan. Dalam situasi saat ini, "lengkap" perlu berarti "terdiri dari semua distribusi yang termasuk dalam model" (seperti semua distribusi normal untuk tes teori normal).

— whuber

Alasan utama Anda melihat persyaratan bahwa hipotesis lengkap adalah masalah apa yang terjadi jika nilai parameter sebenarnya di wilayah yang tidak tercakup oleh hipotesis nol atau alternatif. Kemudian, pengujian pada tingkat kepercayaan menjadi tidak berarti, atau, mungkin lebih buruk, pengujian Anda akan bias terhadap nol - misalnya, tes satu sisi dari formulir vs , padahal sebenarnya . $\alpha %$ $\theta = 0$ $\theta > 0$ $\theta < 0$

Contoh: tes satu sisi untuk vs dari distribusi normal dengan dan true . Dengan ukuran sampel 100, uji 95% akan menolak jika , tetapi 0,1645 sebenarnya 2,645 standar deviasi di atas rata-rata sebenarnya, yang mengarah ke tingkat tes aktual sekitar 99,6%. $\mu = 0$ $\mu > 0$ $\sigma = 1$ $\mu = -0.1$ $\bar{x} > 0.1645$

Juga, Anda mengesampingkan kemungkinan terkejut, dan belajar sesuatu yang menarik.

Namun, kita juga dapat melihatnya sebagai mendefinisikan ruang parameter untuk menjadi subset dari apa yang biasanya dianggap sebagai ruang parameter, misalnya, rata-rata distribusi normal sering dianggap terletak di suatu tempat di garis nyata, tetapi jika kita melakukannya tes satu sisi, kita, pada dasarnya, mendefinisikan ruang parameter menjadi bagian dari garis yang dicakup oleh nol dan alternatif.

— Jbowman
sumber

Terima kasih, Anda membuat kesalahan dalam pengkalimatannya, tidak eksklusif tetapi lengkap (baris pertama).

— greenoldman

Secara konseptual, tes satu sisi adalah tes dalam bentuk vs. daripada vs . Dalam eksposisi dasar, terutama yang terlihat di Web, perbedaan ini dipoles, tetapi ditangani dengan cermat dan benar dalam literatur statistik dan buku teks yang bagus. Dengan demikian kita tidak membatasi ruang parameter.

H_{0} : θ \leq 0

$H_0: \theta \le 0$

H_{A} : θ > 0

$H_A: \theta \gt 0$

H_{0} : θ = 0

$H_0: \theta = 0$

H_{A} : θ > 0

$H_A: \theta \gt 0$

— whuber

whuber - Anda benar tentang tes satu sisi, tentu saja. Saya mencoba, walaupun tidak kompeten, untuk menggambarkan apa yang mungkin terjadi jika hipotesis sebenarnya tidak lengkap, yang dalam hal ini akan muncul jika nol adalah . Jika kita benar-benar ingin tetap dengan titik nol dan alternatif sepihak, dan memiliki hipotesis lengkap, menurut saya kita harus mendefinisikan ulang ruang parameter seperti di atas.

θ = 0

$\theta = 0$

— jbowman

Benarkah? Hipotesis nol dalam tes satu sisi adalah ketidaksetaraan yang mencakup ekor yang belum diuji? Itu jauh lebih masuk akal bagi saya! Tapi seperti yang Anda katakan, itu disajikan dalam kursus saya sebagai titik kesetaraan. Terimakasih atas klarifikasinya.

— James