Distribusi RV seragam berkelanjutan dengan batas atas menjadi RV seragam berkelanjutan lainnya

10

Jika dan , maka dapatkah saya mengatakan bahwa $X \sim U(a, b)$ $Y \sim U(a, X)$ $Y \sim U(a, b)?$

Saya berbicara tentang distribusi seragam terus menerus dengan batas . Bukti (atau disproof!) Akan dihargai. $[a, b]$

uniform distributions

— Blain Waan
sumber

6

Tidak. Dalam R: hist(runif(1e4,0,runif(1e4)))cukup jelas menunjukkan bahwa tentu tidak terdistribusi secara merata. (Saya memposting ini sebagai komentar karena Anda meminta bukti, yang seharusnya tidak sulit, tetapi jujur, mengingat histogram miring, saya tidak berpikir bukti diperlukan ...)

Y

$Y$

— Stephan Kolassa

1

Perubahan lokasi dan skala membuat , dalam hal ini untuk bilangan apa pun , asalkan (dan sebaliknya). Gunakan untuk menghitung probabilitas bersyarat itu.

a = 0, b = 1

$a=0,b=1$

y \in [0, 1]

$y\in[0,1]$

Pr (Y \leq y) = y / X

$\Pr(Y\le y)=y/X$

X \geq y

$X\ge y$

0

$0$

Pr (X \geq y) = 1 - y

$\Pr(X\ge y)=1-y$

— Whuber

13

Kita dapat memperoleh distribusi analitis. Pertama, perhatikan bahwa yang mengikuti distribusi seragam, yaitu $Y$ $Y|X$

f (y | x) = U (a, X)

$f\left(y|x \right) = U(a, X)$

dan sebagainya

\begin{aligned} f (y) = \int_{- \infty}^{\infty} f (y | x) f (x) d x & = \int_{y}^{b} \frac{1}{x - a} \frac{1}{b - a} d x \\ = \frac{1}{b - a} \int_{y}^{b} \frac{1}{x - a} d x \\ = \frac{1}{b - a} [\log (b - a) - \log (y - a)], a < y < b \end{aligned}

$\begin{align} f(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f(y|x) f(x) dx & = \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} \frac{1}{b-a} dx \\ & = \frac{1}{b-a} \int_{y}^{b} \frac{1}{x-a} dx \\ &= \frac{1}{b-a} \left[ \log(b-a)-\log(y-a) \right] ,\quad a<y<b \end{align}$

yang bukan distribusi seragam karena . Di sini terlihat seperti apa kepadatan yang disimulasikan untuk distribusi , yang dilapis dengan apa yang baru saja kami hitung. $\log(y-a)$ $U(0,1)$

y <- runif(1000, 0, runif(1000,0,1))
hist(y, prob =T)
curve( -log(x), add = TRUE, lwd = 2)

— JohnK
sumber

6

Tentu saja tidak.

Untuk mempermudah, mari kita mendefinisikan . $a = 0, b = 1$

Kemudian

$P(Y > 0.5) = P(Y > 0.5 | X > 0.5)P(X > 0.5)$

$< P(X< 0.5) = 0.5$

Karena ketidaksetaraan yang ketat, tidak mungkin bahwa Unif (0,1). $Y \sim$

— Cliff AB
sumber