Dua Sampel uji chi kuadrat

Pertanyaan ini dari buku Asymptotic Statistics Van der Vaart, hal. 253. # 3:

Misalkan $\mathbf{X}_m$ dan $\mathbf{Y}_n$ adalah vektor multinomial independen dengan parameter $(m,a_1,\ldots,a_k)$ dan $(n,b_1,\ldots,b_k)$ . Di bawah hipotesis nol bahwa $a_i=b_i$ menunjukkan bahwa

\sum_{saya = 1}^{k} \frac{(X_{m, saya} - m {\hat{c}}_{saya})^{2}}{m {\hat{c}}_{saya}} + \sum_{saya = 1}^{k} \frac{(Y_{n, saya} - n {\hat{c}}_{saya})^{2}}{n {\hat{c}}_{saya}}

$\sum_{i=1}^k \dfrac{(X_{m,i} - m\hat{c}_i)^2}{m\hat{c}_i} + \sum_{i=1}^k \dfrac{(Y_{n,i} - n\hat{c}_i)^2}{n\hat{c}_i}$ memiliki

χ_{k - 1}^{2}

$\chi^2_{k-1}$ distribusi. di mana

{\hat{c}}_{i} = (X_{m, i} + Y_{n, i}) / (m + n)

$\hat{c}_i = (X_{m,i} + Y_{n,i})/(m+n)$

Saya butuh bantuan untuk memulai. Apa strateginya di sini? Saya bisa menggabungkan dua puncak menjadi:

\sum_{i = 1}^{k} \frac{(m Y_{n, i} - n X_{m, i})^{2}}{m n (m + n) {\hat{c}}_{i}}

$\sum_{i=1}^k \dfrac{(mY_{n,i} - nX_{m,i})^2}{mn(m+n)\hat{c}_i}$

tetapi ini tidak akan bekerja dengan CLT karena kombinasi tertimbang dari $X_m$ dan $Y_n$ . Tidak yakin apakah ini jalan yang benar. Ada saran?

EDIT: jika $m=n$ maka itu cukup mudah karena kita dapatkan

\begin{aligned} \frac{m Y_{n} - n X_{m}}{\sqrt{m n (m + n)}} & = \frac{Y_{n} - X_{m}}{\sqrt{(m + n)}} \end{aligned}

$\begin{align*} \dfrac{mY_{n} - nX_{m}}{\sqrt{mn(m+n)}} &= \dfrac{Y_{n} - X_{m}}{\sqrt{(m+n)}} \end{align*}$

di mana pembilang dapat dilihat sebagai jumlah dari perbedaan Multinomial variabel sehingga kita dapat menerapkan CLT dan kemudian menyelesaikannya dengan Teorema 17.2 dari pasal yang sama. Namun, saya tidak tahu bagaimana menyelesaikannya dalam situasi ini dengan ukuran sampel yang berbeda. Ada bantuan? $(1,a_1,\ldots,a_k)$

Tautan ke van der Vaart bab 17 dari Google Books

— bdeonovic
sumber

Pertama beberapa notasi. Mari dan menunjukkan urutan kategoris terkait dengan dan , yaitu . Misalkan $\left\{X_t\right\}_{1,\ldots,m}$ $\left\{Y_t\right\}_{1,\ldots,n}$ $\mathbf{X}_m$ $\mathbf{Y}_n$ $\text{Pr}\left\{X_t = i\right\} = a_i, \text{Pr}\left\{Y_t = i\right\} = b_i$ $N=n+m$ . Pertimbangkan binerisasi manaadalah Kronecker Delta. Jadi kita memiliki

\begin{aligned} X_{i}^{*} & = (X_{1, i}^{*}, \dots, X_{N, i}^{*}) = (δ_{i, X_{1}}, \dots, δ_{i, X_{n}}, 0, \dots, 0) \\ Y_{i}^{*} & = (Y_{1, i}^{*}, \dots, Y_{N, i}^{*}) = (0, \dots, 0, δ_{i, Y_{1}}, \dots, δ_{i, Y_{n}}) \end{aligned}

$\begin{align*} \mathbf{X}_{i}^* &= (X^*_{1,i},\ldots,X_{N,i}^*) = (\delta_{i,X_1},\ldots,\delta_{i,X_n},0,\ldots,0)\\ \mathbf{Y}_{i}^* &= (Y^*_{1,i},\ldots,Y_{N,i}^*)= (0,\ldots,0,\delta_{i,Y_1},\ldots,\delta_{i,Y_n})\\ \end{align*}$

δ_{i, j} \equiv 1_{i = j}

$\delta_{i,j}\equiv \mathbf{1}_{i=j}$

X_{m, i} = \sum_{t = 1}^{N} X_{t, i}^{*} = \sum_{t = 1}^{m} δ_{i, X_{t}} Y_{n, i} = \sum_{t = 1}^{N} Y_{t, i}^{*} = \sum_{t = 1}^{n} δ_{i, Y_{t}}

$X_{m,i} = \sum_{t=1}^{N} X_{t,i}^* = \sum_{t=1}^m \delta_{i,X_t} \qquad Y_{n,i} = \sum_{t=1}^{N} Y_{t,i}^* = \sum_{t=1}^n \delta_{i,Y_t}$

Sekarang kita mulai buktinya. Pertama kita menggabungkan dua puncak statistik uji. Perhatikan bahwa Jadi kita dapat menulis statistik uji sebagai

\begin{aligned} X_{m, i} - m {\hat{c}}_{i} & = \frac{(n + m) X_{m, i} - m (X_{m, i} + Y_{n, i})}{n + m} \\ = \frac{n X_{m, i} - m Y_{n, i}}{n + m} \\ Y_{n, i} - n {\hat{c}}_{i} & = \frac{(n + m) Y_{n, i} - n (X_{m, i} + Y_{n, i})}{n + m} \\ = \frac{m Y_{n, i} - n X_{m, i}}{n + m} \end{aligned}

$\begin{align*} X_{m,i} - m\hat{c}_i &= \dfrac{(n+m)X_{m,i} - m(X_{m,i} + Y_{n,i})}{n+m}\\ &= \dfrac{nX_{m,i} - mY_{n,i}}{n+m}\\ Y_{n,i} - n\hat{c}_i &= \dfrac{(n+m)Y_{n,i} - n(X_{m,i} + Y_{n,i})}{n+m}\\ &= \dfrac{mY_{n,i} - nX_{m,i}}{n+m} \end{align*}$

\begin{aligned} S & = \sum_{saya = 1}^{k} \frac{(X_{m, saya} - m {\hat{c}}_{saya})^{2}}{m {\hat{c}}_{saya}} + \sum_{saya = 1}^{k} \frac{(Y_{n, saya} - n {\hat{c}}_{saya})^{2}}{n {\hat{c}}_{saya}} \\ = \sum_{saya = 1}^{k} \frac{(n X_{m, saya} - m Y_{n, saya})^{2}}{(n + m)^{2} m {\hat{c}}_{saya}} + \sum_{saya = 1}^{k} \frac{(n X_{m, saya} - m Y_{n, saya})^{2}}{(n + m)^{2} n {\hat{c}}_{saya}} \\ = \sum_{saya = 1}^{k} \frac{(n X_{m, saya} - m Y_{n, saya})^{2}}{n m (n + m) {\hat{c}}_{saya}} \end{aligned}

$\begin{align*} S &= \sum_{i=1}^k \dfrac{(X_{m,i} - m\hat{c}_i)^2}{m\hat{c}_i} + \sum_{i=1}^k \dfrac{(Y_{n,i} - n\hat{c}_i)^2}{n\hat{c}_i}\\ &= \sum_{i=1}^k \dfrac{(nX_{m,i} - mY_{n,i})^2}{(n+m)^2m\hat{c}_i} + \sum_{i=1}^k \dfrac{(nX_{m,i} - mY_{n,i})^2}{(n+m)^2n\hat{c}_i}\\ &= \sum_{i=1}^k \dfrac{(nX_{m,i} - mY_{n,i})^2}{nm(n+m)\hat{c}_i} \end{align*}$

Catatan berikutnya yang dengan sifat sebagai berikut

n X_{m, saya} - m Y_{n, saya} = \sum_{t = 1}^{N} n X_{t, saya}^{*} - m Y_{t, saya}^{*} = Z_{saya}

$nX_{m,i} - mY_{n,i} = \sum_{t=1}^N nX_{t,i}^* - mY_{t,i}^* = Z_{i}$

\begin{aligned} E [Z_{saya}] & = n E [X_{m, saya}] - m E [Y_{n, saya}] \\ = n m {Sebuah}_{saya} - n m {Sebuah}_{saya} = 0 \\ Var [Z_{saya}] & = Var [n X_{m, saya} - m Y_{n, saya}] \\ = n^{2} Var [X_{m, saya}] - m^{2} Var [Y_{n, saya}] Catatan X_{m, saya} dan Y_{n, saya} independen \\ = n^{2} m {Sebuah}_{saya} (1 - {Sebuah}_{saya}) + m^{2} n {Sebuah}_{saya} (1 - {Sebuah}_{saya}) \\ = n m (n + m) {Sebuah}_{saya} (1 - {Sebuah}_{saya}) \\ Cov [Z_{saya}, Z_{j}] & = E [Z_{saya} Z_{j}] - E [Z_{saya}] E [Z_{j}] \\ = E [(n X_{m, saya} - m Y_{n, saya}) (n X_{m, j} - m Y_{n, j})] \\ = n^{2} (- m {Sebuah}_{saya} {Sebuah}_{j} + m^{2} {Sebuah}_{saya} {Sebuah}_{j}) - 2 n^{2} m^{2} {Sebuah}_{saya} {Sebuah}_{j} + m^{2} (- n {Sebuah}_{saya} {Sebuah}_{j} + n^{2} {Sebuah}_{saya} {Sebuah}_{j}) \\ = - n m (n + m) {Sebuah}_{saya} {Sebuah}_{j} \end{aligned}

$\begin{align*} \text{E}[Z_{i}] &= n\text{E}[X_{m,i}] - m\text{E}[Y_{n,i}]\\ &= nma_i - nma_i = 0\\ \text{Var}[Z_{i}] &= \text{Var}[nX_{m,i} - mY_{n,i}]\\ &= n^2\text{Var}[X_{m,i}] - m^2\text{Var}[Y_{n,i}] \qquad\text{Note $X_{m,i}$ and $Y_{n,i}$ are independent}\\ &= n^2ma_i(1-a_i) + m^2na_i(1-a_i)\\ &= nm(n+m)a_i(1-a_i)\\ \text{Cov}[Z_{i},Z_{j}] &= \text{E}[Z_{i}Z_{j}] - \text{E}[Z_{i}]\text{E}[Z_{j}]\\ &= \text{E}[(nX_{m,i} - mY_{n,i})(nX_{m,j} - mY_{n,j})]\\ &= n^2(-ma_ia_j + m^2a_ia_j) - 2n^2m^2a_ia_j + m^2(-na_ia_j+n^2a_ia_j)\\ &= -nm(n+m)a_ia_j \end{align*}$

\frac{1}{\sqrt{n m (n + m)}} Z = \frac{n X_{m} - m Y_{n}}{\sqrt{n m (n + m)}} \overset{D}{\to} N (0, Σ)

$\dfrac{1}{\sqrt{nm(n+m)}}\mathbf{Z} = \dfrac{n\mathbf{X}_m - m \mathbf{Y}_n}{\sqrt{nm(n+m)}}\overset{D}{\to} \text{N}(\mathbf{0},\Sigma)$

(i, j)

$(i,j)$

Σ

$\Sigma$

σ_{i j} = a_{i} (δ_{i j} - a_{j})

$\sigma_{ij} = a_i(\delta_{ij} - a_j)$

\hat{c} = ({\hat{c}}_{1}, \dots, {\hat{c}}_{k}) \overset{p}{\to} (a_{1}, \dots, a_{k}) = a

$\hat{\mathbf{c}} = (\hat{c}_1,\ldots,\hat{c}_k) \overset{p}{\to} (a_1,\ldots,a_k)=\mathbf{a}$

\frac{n X_{m} - m Y_{n}}{\sqrt{n m (n + m)} \hat{c}} \overset{D}{\to} N (0, {saya}_{k} - \sqrt{Sebuah} {\sqrt{Sebuah}}^{'})

$\dfrac{n\mathbf{X}_m - m \mathbf{Y}_n}{\sqrt{nm(n+m)}\hat{\mathbf{c}}}\overset{D}{\to} \text{N}(\mathbf{0},\mathbf{I}_k - \sqrt{\mathbf{a}}\sqrt{\mathbf{a}}')$

I_{k}

$\mathbf{I}_k$

k \times k

$k\times k$

\sqrt{a} = (\sqrt{a_{1}}, \dots, \sqrt{a_{k}})

$\sqrt{\mathbf{a}} = (\sqrt{a_1},\ldots,\sqrt{a_k})$

I_{k} - \sqrt{a} {\sqrt{a}}^{'}

$\mathbf{I}_k - \sqrt{\mathbf{a}}\sqrt{\mathbf{a}}'$

k - 1

$k-1$

\sum_{saya = 1}^{k} \frac{(n X_{m, saya} - m Y_{n, saya})^{2}}{n m (n + m) {\hat{c}}_{saya}} \overset{D}{\to} χ_{k - 1}^{2}

$\sum_{i=1}^k \dfrac{(nX_{m,i} - mY_{n,i})^2}{nm(n+m)\hat{c}_i} \overset{D}{\to} \chi^2_{k-1}$

— bdeonovic
sumber