Distribusi kebalikan dari koefisien regresi

Misalkan kita memiliki model linier yang memenuhi semua asumsi regresi standar (Gauss-Markov). Kami tertarik pada . $y_i = \beta_0 + \beta_1 x_i + \epsilon_i$ $\theta = 1/\beta_1$

Pertanyaan 1: Apa asumsi yang diperlukan untuk distribusi didefinisikan dengan baik? akan menjadi penting --- ada yang lain? $\hat{\theta}$ $\beta_1 \neq 0$

Pertanyaan 2: Tambahkan asumsi bahwa kesalahan mengikuti distribusi normal. Kita tahu bahwa, jika adalah MLE dan adalah fungsi monoton, maka adalah MLE untuk . Apakah monotonitas hanya diperlukan di lingkungan ? Dengan kata lain, adalah yang MLE? Teorema pemetaan kontinu setidaknya memberitahu kita bahwa parameter ini konsisten. $\hat{\beta}_1$ $g(\cdot)$ $g\left(\hat{\beta}_1\right)$ $g(\beta_1)$ $\beta_1$ $\hat{\theta} = 1/\hat{\beta}$

Pertanyaan 3: Apakah kedua Metode Delta dan bootstrap kedua cara yang tepat untuk menemukan distribusi ? $\hat{\theta}$

Pertanyaan 4: Bagaimana jawaban ini berubah untuk parameter ? $\gamma = \beta_0 / \beta_1$

Selain: Kami mungkin mempertimbangkan menata ulang masalah untuk memberikan untuk memperkirakan parameter secara langsung. Ini sepertinya tidak berhasil bagi saya karena asumsi Gauss-Markov tidak lagi masuk akal di sini; kita tidak dapat berbicara tentang, misalnya. Apakah interpretasi ini benar?

\begin{aligned} x_{i} & = \frac{β_{0}}{β_{1}} + \frac{1}{β_{1}} y_{i} + \frac{1}{β_{1}} ϵ_{i} \\ = γ + θ y_{i} + \frac{1}{β_{1}} ϵ_{i} \end{aligned}

$\begin{align*} x_i &= \frac{\beta_0}{\beta_1} + \frac{1}{\beta_1} y_i + \frac{1}{\beta_1} \epsilon_i \\ &= \gamma + \theta y_i + \frac{1}{\beta_1} \epsilon_i \end{align*}$

E [ϵ ∣ y]

$\text{E}[\epsilon \mid y]$

— Charlie
sumber

ϵ_{i}

$\epsilon_i$

Poin bagus; Saya menambahkan asumsi itu pada bagian tentang MLE. Seharusnya tidak perlu bagi yang lain.

— Charlie

β_{1}

$\beta_1$

θ

$\theta$

β_{1}

$\beta_1$

1 / {\hat{β}}_{1}

$1/\hat{\beta}_1$

\exp (- (1 / x - μ)^{2} / (2 σ^{2})) / (\sqrt{2 π} x^{2} σ) d x

$\exp(-(1/x-\mu)^2/(2\sigma^2))/(\sqrt{2\pi}x^2\sigma)dx$

σ

$\sigma$

μ / σ

$\mu/\sigma$

| x |

$|x|$

| x | / x^{2} = 1 / | x |

$|x|/x^2=1/|x|$

— whuber

$\hat\beta_1$ $\beta_1$ $\hat\theta$ $\theta$ $\beta_1 \neq 0$

$\hat\theta = 1/\hat\beta$ $\theta$ $g$ $g$

$\theta$

$(\theta,\gamma)$ $\gamma$ $\hat\gamma=\hat\beta_0/\hat\beta_1$

Pendekatan yang Anda sebutkan pada akhirnya tidak benar, Anda sebenarnya mempertimbangkan "model kalibrasi" yang dapat Anda periksa dalam literatur. Satu-satunya hal yang Anda butuhkan adalah reparameterise dalam hal parameter bunga.

Saya harap ini membantu.

Salam.

— XMX
sumber

Terima kasih atas tanggapannya. Saya tidak memiliki buku yang Anda kutip, tetapi seringkali sifat-sifat ini membutuhkan keberadaan saat-saat yang diperkirakan. Saya tidak yakin bahwa kebalikan dari yang normal memiliki saat-saat yang diperlukan. Saya seharusnya menjelaskan hal ini dalam pertanyaan saya.

— Charlie