Apakah semua bola di dalam guci memiliki warna yang sama (ketika mereka tidak bisa terlihat jelas)

8

Saya memiliki masalah yang mengecil menjadi bola di guci (sebenarnya tentang referensi dan alel alternatif dalam populasi).

Asumsikan Saya memiliki guci tercampur besar (iid menarik) yang dapat berisi dua warna bola: aquamarine dan robin biru telur ( a dan r masing-masing). Warnanya dekat warnanya, jadi terkadang seseorang yang mengklasifikasikannya membuat kesalahan mengidentifikasi warna setelah menggambar bola dari guci. Biarkan menjadi probabilitas kesalahan saat bola benar-benar r dan saat bola benar - benar a . Asumsikan saya tahu angka-angka ini (saya pikir mereka kurang dari 0,01 tetapi masih perlu memeriksa) dan saya telah memilih signifikansi. $e_r$ $e_a$

Dalam sebuah eksperimen, teman saya menarik bola dari guci dan mengidentifikasi bola sebagai warna r dan sebagai sebuah ( ). Dia kemudian memberitahuku dan . Saya ingin tes bahwa semua bola yang r vs guci berisi setidaknya satu sebuah bola diberi nomor bola yang ditarik. $n$ $r$ $a$ $n=r+a$ $r$ $a$ $H_0$ $H_a$

Tujuan saya adalah melakukan tes pada 2 level yang berbeda untuk memberikan peringkat "bintang" pada kekuatan hasil yang dilaporkan. Tidak dapat menolak pada 0,05 = 2 bintang, ditolak pada 0,05 = 3 bintang dan ditolak pada 0,01 = 4 bintang.

Tes apa yang bisa saya gunakan untuk masalah ini? (Meskipun saya telah memasukkan ini dalam istilah konvensional, saya akan senang mendapatkan faktor Bayes dan menetapkan ambang batas berdasarkan itu. Saya juga senang dengan tes yang memerlukan sejumlah pengukuran validitas - saya hanya dapat mengklasifikasikan sampel yang terlalu kecil "tidak dapat menolak")

Perhatikan ini berbeda dari pengujian proporsi karena tes tersebut tidak memiliki kesalahan dalam pengukuran (dan tidak berfungsi untuk proporsi = 0 atau 1). Saya berpikir untuk mencoba menetapkan proporsi non-nol menggunakan beberapa jenis faktor fudge berdasarkan tingkat kesalahan dan ukuran sampel (misalnya pengujian mana adalah proporsi yang benar, tetapi saya tidak bisa muncul dengan nomor yang benar). Saya juga mulai mencoba untuk mendapatkan tes saya sendiri, tetapi butuh waktu cukup lama dan ini sepertinya jenis masalah yang seseorang akan selidiki sebelumnya. $H_0$ $H_0=P \le e_r$ $P$

Sunting Tulis ulang pertanyaan sedikit untuk mengklarifikasi bahwa saya tidak tahu urutan pengundian / klasifikasi

hypothesis-testing

— Eponim
sumber

2

Aku mengakui bahwa aku tidak sepenuhnya membaca jawaban lain, tetapi pendekatan mentah hanya akan catatan bahwa mengikuti binomial sebuah distribusi ketika semua bola berwarna biru telur robin, sehingga Anda dapat menolak bila adalah "terlalu besar" berdasarkan model binomial. Jika ini tidak dilakukan maka mungkin uji rasio kemungkinan akan lebih baik, yang tampaknya seperti apa yang dicapai Zachary Blumenfeld. $a$ $(n, p = e_r)$ $a$

— dsaxton
sumber

1

Saya pikir saya memiliki fungsi kemungkinan (Pengungkapan penuh, saya tidak 100% yakin). Setelah Anda mendapatkan kemungkinan meskipun sisa tes hipotesis harus lebih mudah.

Misalkan Anda menggambar sampel ukuran dilambangkan sebagai . Untuk kesederhanaan, katakanlah; $n$ $(X_1,...X_n)$

X_{i} = {\begin{cases} 1 i f c l a s s i f i e d a s c o l o r a \\ 0 i f c l a s s i f i e d a s c o l o r r \end{cases}

$X_i = \begin{cases} 1\;\;\mathrm{if \; classified \; as\; color}\;\;\mathbf{a}\\ 0\;\;\mathrm{if \; classified \; as\; color}\;\;\mathbf{r} \end{cases}$ Selanjutnya menunjukkan indikator warna "benar" dari observasi sebagai sedemikian rupa sehingga; Misalkan juga bahwa tingkat kesalahan diketahui, .

i

$i$

X_{i}^{*}

$X_i^*$

X_{i}^{*} = {\begin{cases} 1 i f o b s e r v a t i o n i s c o l o r a \\ 0 i f o b s e r v a t i o n i s c o l o r r \end{cases}

$X^*_i = \begin{cases} 1\;\;\mathrm{if \; observation\; \; is\; color}\;\;\mathbf{a}\\ 0\;\;\mathrm{if \; observation \; is\; color}\;\;\mathbf{r} \end{cases}$

e_{r} \in (0, 1)

$e_r \in (0,1)$

Probabilitas tergantung pada , yang kemudian menjadi distribusi Bernoulli; Kami juga dapat menyatakan ini sebagai; Kita juga tahu probabilitas dan dan kemudian setelah beberapa aljabar; $X_i$ $X^*_i$

P (X_{i} = 1 | X_{i}^{*}, e_{r}) = {\begin{cases} 1 - e_{r} i f X_{i}^{*} = 1 \\ e_{r} i f X_{i}^{*} = 0 \end{cases}

$P(X_i=1|X^*_i,e_r)=\begin{cases} 1-e_r\;\;\mathrm{if}\;\;X^*_i=1\\ e_r\;\;\mathrm{if}\;\;X^*_i=0 \end{cases}$

P (X_{i} | X_{i}^{*}, e_{r}) = X_{i}^{*} [(1 - e_{r})^{X_{i}} e_{r}^{1 - X_{i}}] + (1 - X_{i}^{*}) [e_{r}^{X_{i}} (1 - e_{r})^{1 - X_{i}}]

$P(X_i|X^*_i,e_r)=X^*_i\bigg[(1-e_r)^{X_i} e_r^{1-X_i}\bigg]+(1-X^*_i)\bigg[e_r^{X_i} (1-e_r)^{1-X_i}\bigg]$

X_{i}^{*}

$X^*_i$

P (X_{i}^{*} | p) = p^{X_{i}^{*}} (1 - p)^{1 - X_{i}^{*}}

$P(X^*_i|p) = p^{X^*_i}(1-p)^{1-X^*_i}$

P (X_{i} | e_{r}, p) = P (X_{i} | X_{i}^{*} = 1, e_{r}) P (X_{i}^{*} = 1 | p) + P (X_{i} | X_{i}^{*} = 0, e_{r}) P (X_{i}^{*} = 0 | p)

P (X_{i} | e_{r}, p) = p [(1 - e_{r})^{X_{i}} e_{r}^{1 - X_{i}}] + (1 - p) [e_{r}^{X_{i}} (1 - e_{r})^{1 - X_{i}}]

$P(X_i|e_r,p) = p\bigg[(1-e_r)^{X_i} e_r^{1-X_i}\bigg]+(1-p)\bigg[e_r^{X_i} (1-e_r)^{1-X_i}\bigg]$

Jadi kemungkinan Anda adalah;

L (p ∣ X_{1}, . ., X_{n}, e_{r}) = \prod_{i = 1}^{n} P (X_{i} | e_{r}, p)

$\mathcal{L}(p\mid X_1,..,X_n,e_r)=\prod_{i=1}^n P(X_i|e_r,p)$

= \prod_{i = 1}^{n} p [(1 - e_{r})^{X_{i}} e_{r}^{1 - X_{i}}] + (1 - p) [e_{r}^{X_{i}} (1 - e_{r})^{1 - X_{i}}]

$= \prod_{i=1}^n p\bigg[(1-e_r)^{X_i} e_r^{1-X_i}\bigg]+(1-p)\bigg[e_r^{X_i} (1-e_r)^{1-X_i}\bigg]$

Tes hipotesis Anda berkurang menjadi vs . Anda dapat melakukannya dengan faktor Bayes, atau dengan kesalahan standar yang berasal dari kemungkinan, atau bahkan melalui bootstrap parametrik. Apa pun yang Anda inginkan. Sekarang Anda memiliki kemungkinan, sisanya harus mudah. $H_0: p=1$ $H_1: p\neq 0$

— Zachary Blumenfeld
sumber

Saya melihat tetapi tidak . Untuk melakukan , saya pikir Anda perlu kedua dan

P (X_{i} = 1 | X_{i}^{*}, e_{r})

$P(X_i=1|X_i^*,e_r)$

P (X_{i} = 0 | X_{i}^{*}, e_{a})

$P(X_i=0|X_i^*,e_a)$

P (X_{i} | . . .)

$P(X_i|...)$

e_{r}

$e_r$

e_{a}

$e_a$

— eponymous

Maaf, saya menganggap dalam masalah ini, jadi itu harus diubah. Saya juga menulis hipotesis sebaliknya (nol harus , tapi itu mudah diubah juga.

e_{r} = e_{a}

$e_r=e_a$

p = 0

$p=0$

— Zachary Blumenfeld