Nama untuk kondisi distribusi ini?

Saya telah menemukan kondisi yang diperlukan pada distribusi probabilitas kontinu yang ditentukan $[0, \infty]$dan bertanya-tanya apakah itu memiliki nama. Untuk distribusi dengan CDF$F$ dan pdf $f$ Saya membutuhkan kuantitas:

$$\phi(x) \equiv \frac{f(x)}{F(x)+xf(x)}$$ menjadi tidak monoton meningkat. Menempatkan kondisi dalam bentuk lain (dengan mengambil turunan), persyaratannya adalah untuk semua$x \in [0,\infty]$ seperti yang $f'(x) > 0$: $$f(x) \geq \sqrt{\frac{F(x) f'(x)}{2}}$$

Ini sepertinya properti yang biasanya puas, jadi apakah ia punya nama? Hal ini terkait dengan, tetapi berbeda dari kondisi tingkat bahaya monoton.

Ini hampir merupakan kondisi untuk fungsi distribusi kumulatif menjadi log-cekung , yang merupakan properti yang sangat berguna dengan banyak aplikasi. Tapi hampir .

Sebuah fungsi $F(x)$ adalah log-cekung jika

$$\frac {\partial^2 \ln F(x)}{\partial x^2} \le 0 \Rightarrow F''(x)F(x) - \left[F'(x)\right]^2 \le 0$$

Tulis dalam bentuk$\phi(x)$$F(x)$

$$\phi(x) \equiv \frac{F'(x)}{F(x)+xF'(x)}$$

dan kami ingin

$$\frac {\partial \phi(x)}{\partial x} \le 0 \Rightarrow F''(x)\Big(F(x)+xF'(x)\Big)-F'(x)\Big(F'(x)+F'(x) +xF''(x)\Big) \le 0$$

$$\Rightarrow F''(x)F(x)-2\left[F'(x)\right]^2 \le 0$$

... yang tidak cukup untuk log-concavity, karena adanya faktor . $2$

Asumsikan bahwa kondisinya terpenuhi. Jika kita bagi dengan dan mengatur ulang kita dapatkan$[F(x)]^2$

$$\frac {\partial \phi(x)}{\partial x} \le 0 \Rightarrow \frac {\partial^2 \ln F(x)}{\partial x^2} \le \left( \frac{F'(x)}{F(x)}\right)^2 = \left(\frac {\partial \ln F(x)}{\partial x}\right)^2$$