Tautkan antara varians dan jarak berpasangan dalam suatu variabel

Tolong, buktikan bahwa jika kita memiliki dua variabel (ukuran sampel yang sama) dan dan varians dalam lebih besar dari pada , maka jumlah perbedaan kuadrat (yaitu, jarak Euclidean kuadrat) antara titik data dalam juga lebih besar dari bahwa dalam . $X$ $Y$ $X$ $Y$ $X$ $Y$

variance distance

— ttnphns
sumber

Tolong jelaskan: Ketika Anda mengatakan varians , maksud Anda varians sampel ? Ketika Anda mengatakan jumlah kuadrat perbedaan apakah Anda berarti

\sum_{i, j} (x_{i} - x_{j})^{2}

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2$

— kardinal

Dengan asumsi tersebut di atas:

dengan hati-hati memperhitungkan unsur-unsur dalam istilah lintas. Saya membayangkan Anda bisa mengisi (celah kecil). Hasilnya kemudian mengikuti dengan sepele.

\sum_{saya, j} (x_{saya} - x_{j})^{2} = \sum_{saya \neq j} ((x_{saya} - \bar{x}) - (x_{j} - \bar{x}))^{2} = 2 n \sum_{saya = 1}^{n} (x_{saya} - \bar{x})^{2},

$\sum_{i,j} (x_i - x_j)^2 = \sum_{i \neq j} ((x_i - \bar{x}) - (x_j - \bar{x}))^2 = 2 n \sum_{i=1}^n (x_i - \bar{x})^2 \> ,$

— kardinal

Ada juga cara untuk melakukan ini "tanpa" perhitungan apa pun dengan mempertimbangkan fakta bahwa jika

dan

iid dari

(dengan varian yang terdefinisi dengan baik), maka

. Ini membutuhkan pemahaman yang lebih kuat pada konsep probabilitas.

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

F

$F$

E (X_{1} - X_{2})^{2} = 2 V a r (X_{1})

$\mathbb E (X_1 - X_2)^2 = 2 \mathrm{Var}(X_1)$

— kardinal

Untuk pertanyaan terkait, saya menggunakan visualisasi tentang apa yang terjadi di sini di balasan di stats.stackexchange.com/a/18200 : perbedaan kuadrat adalah bidang kuadrat.

— whuber

@whuber: Bagus sekali. Entah bagaimana saya telah melewatkan jawaban Anda ini selama ini.

— kardinal

Hanya untuk memberikan jawaban "resmi", untuk melengkapi solusi yang dibuat dalam komentar, perhatikan

Tak satu pun dari , , , atau diubah dengan menggeser semua seragam ke untuk beberapa konstan atau menggeser semua $\operatorname{Var} ((X_i))$ $\operatorname{Var} ((Y_i))$ $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2$ $\sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$ $X_i$ $X_i-\mu$ $\mu$ to untuk beberapa konstan. Dengan demikian kita bisa mengasumsikan pergeseran tersebut telah dilakukan untuk membuat , mana dan . $Y_i$ $Y_i-\nu$ $\nu$ $\sum X_i = \sum Y_i = 0$ $\operatorname{Var}((X_i)) = \sum X_i^2$ $\operatorname{Var}((Y_i)) = \sum Y_i^2$
$\sum X_i^2 \ge \sum Y_i^2$ $\sum_{i,j} (X_i-X_j)^2 \ge \sum_{i,j} (Y_i-Y_j)^2$
$\sum_{i, j} (X_{i} - X_{j})^{2} = 2 \sum X_{saya}^{2} - 2 (\sum X_{saya}) (\sum X_{j}) = 2 \sum X_{saya}^{2} = 2 Var ((X_{saya}))$ $\sum_{i,j}(X_i-X_j)^2 = 2\sum X_i^2 - 2\left(\sum X_i\right)\left(\sum X_j\right) = 2\sum X_i^2 = 2\operatorname{Var}((X_i))$ $Y$

Buktinya langsung.

— whuber
sumber