Regresi ketika setiap titik memiliki ketidakpastiannya sendiri dalam

Saya membuat pengukuran dua variabel dan . Mereka berdua mengetahui ketidakpastian dan terkait dengannya. Saya ingin menemukan hubungan antara dan . Bagaimana saya bisa melakukannya?x y σ x σ y x $n$$x$$y$$\sigma_x$$\sigma_y$$x$$y$

EDIT : setiap memiliki terkait dengannya, dan sama dengan .σ x , i y $x_i$$\sigma_{x,i}$$y_i$

Contoh R yang dapat direproduksi:

## pick some real x and y values 
true_x <- 1:100
true_y <- 2*true_x+1

## pick the uncertainty on them
sigma_x <- runif(length(true_x), 1, 10) # 10
sigma_y <- runif(length(true_y), 1, 15) # 15

## perturb both x and y with noise 
noisy_x <- rnorm(length(true_x), true_x, sigma_x)
noisy_y <- rnorm(length(true_y), true_y, sigma_y)

## make a plot 
plot(NA, xlab="x", ylab="y",
    xlim=range(noisy_x-sigma_x, noisy_x+sigma_x), 
    ylim=range(noisy_y-sigma_y, noisy_y+sigma_y))
arrows(noisy_x, noisy_y-sigma_y, 
       noisy_x, noisy_y+sigma_y, 
       length=0, angle=90, code=3, col="darkgray")
arrows(noisy_x-sigma_x, noisy_y,
       noisy_x+sigma_x, noisy_y,
       length=0, angle=90, code=3, col="darkgray")
points(noisy_y ~ noisy_x)

## fit a line 
mdl <- lm(noisy_y ~ noisy_x)
abline(mdl)

## show confidence interval around line 
newXs <- seq(-100, 200, 1)
prd <- predict(mdl, newdata=data.frame(noisy_x=newXs), 
    interval=c('confidence'), level=0.99, type='response')
lines(newXs, prd[,2], col='black', lty=3)
lines(newXs, prd[,3], col='black', lty=3)

Masalah dengan contoh ini adalah saya pikir itu mengasumsikan bahwa tidak ada ketidakpastian dalam . Bagaimana saya bisa memperbaikinya?$x$

$L$$\theta$$\gamma$

$(x,y)$

$x_i$$\sigma_i^2$$y_i$$\tau_i^2$$x_i$$y_i$

$\theta$$\gamma$

$\sigma_i$$\tau_i$$0$

$\tau_i$$\sigma_i$$x$$n=8$

Garis yang benar ditampilkan dalam titik-titik biru. Sepanjang itu titik-titik aslinya diplot sebagai lingkaran kosong. Panah abu-abu menghubungkannya ke titik yang diamati, diplot sebagai cakram hitam pekat. Solusinya digambarkan sebagai garis merah solid. Meskipun ada penyimpangan besar antara nilai-nilai yang diamati dan aktual, solusinya sangat dekat dengan garis yang benar dalam wilayah ini.

#
# Generate data.
#
theta <- c(1, -2, 3) # The line is theta %*% c(x,y,-1) == 0
theta[-3] <- theta[-3]/sqrt(crossprod(theta[-3]))
n <- 8
set.seed(17)
sigma <- rexp(n, 1/2)
tau <- rexp(n, 1)
u <- 1:n
xy.0 <- t(outer(c(-theta[2], theta[1]), 0:(n-1)) + c(theta[3]/theta[1], 0))
xy <- xy.0 + cbind(rnorm(n, sd=sigma), rnorm(n, sd=tau))
#
# Fit a line.
#
x <- xy[, 1]
y <- xy[, 2]
f <- function(phi) { # Negative log likelihood, up to an additive constant
  a <- phi[1]
  gamma <- phi[2]
  sum((x*cos(a) + y*sin(a) - gamma)^2 / ((sigma*cos(a))^2 + (tau*sin(a))^2))/2
}
fit <- lm(y ~ x) # Yields starting estimates
slope <- coef(fit)[2]
theta.0 <- atan2(1, -slope)
gamma.0 <- coef(fit)[1] / sqrt(1 + slope^2)
sol <- nlm(f,c(theta.0, gamma.0))
#
# Plot the data and the fit.
#
theta.hat <- sol$estimate[1] %% (2*pi)
gamma.hat <- sol$estimate[2]
plot(rbind(xy.0, xy), type="n", xlab="x", ylab="y")
invisible(sapply(1:n, function(i) 
  arrows(xy.0[i,1], xy.0[i,2], xy[i,1], xy[i,2], 
         length=0.15, angle=20, col="Gray")))
points(xy.0)
points(xy, pch=16)
abline(c(theta[3] / theta[2], -theta[1]/theta[2]), col="Blue", lwd=2, lty=3)
abline(c(gamma.hat / sin(theta.hat), -1/tan(theta.hat)), col="Red", lwd=2)

Optimalisasi kemungkinan maksimum untuk kasus ketidakpastian x dan y telah ditangani oleh York (2004). Berikut adalah kode R untuk fungsinya.

"YorkFit", ditulis oleh Rick Wehr, 2011, diterjemahkan ke dalam R oleh Rachel Chang

Rutin universal untuk menemukan garis lurus terbaik sesuai dengan data dengan variabel, kesalahan berkorelasi, termasuk estimasi kesalahan dan goodness of fit, mengikuti Persamaan. (13) dari York 2004, American Journal of Physics, yang didasarkan pada York 1969, Earth and Planetary Sciences Letters

YorkFit <- fungsi (X, Y, Xstd, Ystd, Ri = 0, b0 = 0, printCoefs = 0, makeLine = 0, eps = 1e-7)

X, Y, Xstd, Ystd: gelombang yang berisi titik X, titik Y, dan deviasi standar mereka

PERINGATAN: Xstd dan Ystd tidak boleh nol karena ini akan menyebabkan Xw atau Yw menjadi NaN. Gunakan nilai yang sangat kecil sebagai gantinya.

Ri: koefisien korelasi untuk kesalahan X dan Y - panjang 1 atau panjang X dan Y

b0: tebakan awal kasar untuk kemiringan (dapat diperoleh dari standar kuadrat-terkecil tanpa kesalahan)

printCoefs: set sama dengan 1 untuk menampilkan hasil di jendela perintah

makeLine: set sama dengan 1 untuk menghasilkan gelombang Y untuk garis fit

Mengembalikan matriks dengan intersep dan kemiringan ditambah ketidakpastiannya

Jika tidak ada tebakan awal untuk b0, maka gunakan saja OLS jika (b0 == 0) {b0 = lm (Y ~ X) $ koefisien [2]}

tol = abs(b0)*eps #the fit will stop iterating when the slope converges to within this value

a, b: intersep dan kemiringan akhir a.err, b.err: estimasi ketidakpastian dalam intersep dan kemiringan

# WAVE DEFINITIONS #

Xw = 1/(Xstd^2) #X weights
Yw = 1/(Ystd^2) #Y weights


# ITERATIVE CALCULATION OF SLOPE AND INTERCEPT #

b = b0
b.diff = tol + 1
while(b.diff>tol)
{
    b.old = b
    alpha.i = sqrt(Xw*Yw)
    Wi = (Xw*Yw)/((b^2)*Yw + Xw - 2*b*Ri*alpha.i)
    WiX = Wi*X
    WiY = Wi*Y
    sumWiX = sum(WiX, na.rm = TRUE)
    sumWiY = sum(WiY, na.rm = TRUE)
    sumWi = sum(Wi, na.rm = TRUE)
    Xbar = sumWiX/sumWi
    Ybar = sumWiY/sumWi
    Ui = X - Xbar
    Vi = Y - Ybar

    Bi = Wi*((Ui/Yw) + (b*Vi/Xw) - (b*Ui+Vi)*Ri/alpha.i)
    wTOPint = Bi*Wi*Vi
    wBOTint = Bi*Wi*Ui
    sumTOP = sum(wTOPint, na.rm=TRUE)
    sumBOT = sum(wBOTint, na.rm=TRUE)
    b = sumTOP/sumBOT

    b.diff = abs(b-b.old)
  }     

   a = Ybar - b*Xbar
   wYorkFitCoefs = c(a,b)

# ERROR CALCULATION #

Xadj = Xbar + Bi
WiXadj = Wi*Xadj
sumWiXadj = sum(WiXadj, na.rm=TRUE)
Xadjbar = sumWiXadj/sumWi
Uadj = Xadj - Xadjbar
wErrorTerm = Wi*Uadj*Uadj
errorSum = sum(wErrorTerm, na.rm=TRUE)
b.err = sqrt(1/errorSum)
a.err = sqrt((1/sumWi) + (Xadjbar^2)*(b.err^2))
wYorkFitErrors = c(a.err,b.err)

# GOODNESS OF FIT CALCULATION #
lgth = length(X)
wSint = Wi*(Y - b*X - a)^2
sumSint = sum(wSint, na.rm=TRUE)
wYorkGOF = c(sumSint/(lgth-2),sqrt(2/(lgth-2))) #GOF (should equal 1 if assumptions are valid), #standard error in GOF

# OPTIONAL OUTPUTS #

if(printCoefs==1)
 {
    print(paste("intercept = ", a, " +/- ", a.err, sep=""))
    print(paste("slope = ", b, " +/- ", b.err, sep=""))
  }
if(makeLine==1)
 {
    wYorkFitLine = a + b*X
  }
 ans=rbind(c(a,a.err),c(b, b.err)); dimnames(ans)=list(c("Int","Slope"),c("Value","Sigma"))
return(ans)
 }