Bagaimana kita bisa mensimulasikan dari campuran geometris?

Jika $f_1,\ldots,f_k$ kepadatan diketahui dari mana saya dapat mensimulasikan, yaitu, yang algoritma tersedia. dan jika produk

\prod_{i = 1}^{k} f_{i} (x)^{α_{i}} α_{1}, \dots, α_{k} > 0

$\prod_{i=1}^k f_i(x)^{\alpha_i}\qquad \alpha_1,\ldots,\alpha_k>0$ dapat diintegrasikan, apakah ada pendekatan umum untuk mensimulasikan dari kepadatan produk ini menggunakan simulator dari

f_{i}

$f_i$ ?

— Xi'an
sumber

α_{i} = 1

$\alpha_i=1$

ϵ > 0

$\epsilon\gt 0$

f_{i}

$f_i$

I_{i}

$I_i$

f_{i} \leq 1

$f_i\le 1$

\underset{i}{Pr} (I_{i}) > 1 - ϵ

$\Pr_i(I_i)\gt 1-\epsilon$

0 < f_{i} < ϵ

$0\lt f_i\lt \epsilon$

I_{i} \cap I_{j} = \emptyset

$I_i\cap I_j=\emptyset$

i \neq j

$i\ne j$

I_{i}

$I_i$

\prod f_{i}

$\prod f_i$ sepertinya tidak ada hubungannya dengan .) Jadi, apa lagi yang bisa Anda ceritakan tentang ?

I_{i}

$I_i$

f_{i}

$f_i$

— whuber

(+10) Benar! Namun, menggunakan lebih kecil akan menyebabkan semua elemen rata dan karenanya mendukung tumpang tindih dukungan efektifnya ...

α_{i}

$\alpha_i$

— Xi'an

Seperti yang dikatakan whuber, sesak akan menjadi masalah, jadi saya akan mengambil transformasi (OR sampling istimewa) untuk membatalkan sesak sebelum membuat sampel acak. Ada satu pendekatan konstruktif yang saya pikir saya baca beberapa waktu lalu. Sec 10.7 dari link.springer.com/chapter/10.1007/978-1-4612-0209-7_10 Tidak yakin apakah diskritisasi juga dapat diterapkan di sini.

— Henry.L

Yah, tentu saja ada algoritma penerimaan-penolakan, yang akan saya terapkan untuk contoh Anda sebagai:

(Inisialisasi) Untuk setiap , temukan . Sunting mencerminkan komentar Xi'an di bawah ini: Pilih distribusi yang sesuai dengan terkecil . $i$ $A_i = \sup_x \{\Pi_{j=1}^k f_j(x)^{\alpha_j}/f_i(x)\}$ $f_i$ $A_i$
Hasilkan dari . $x$ $f_i$
Hitung . $\alpha = \Pi_{i=j}^k f_j(x)^{\alpha_j} / (A_if_i(x))$
Hasilkan . $u \sim U(0,1)$
Jika , kembalikan , kalau tidak pergi ke 2. $u \leq \alpha$ $x$

Tergantung pada distribusinya, tentu saja, Anda mungkin memiliki tingkat penerimaan yang sangat rendah. Ketika itu terjadi, jumlah iterasi yang diharapkan sama dengan dipilih (dengan asumsi distribusi kontinu), jadi setidaknya Anda diperingatkan sebelumnya. $A_i$

— Jbowman
sumber

(+1) Memang solusinya! Dengan asumsi batas memang ada untuk semua . Atau bahkan beberapa 's. Membandingkan [dengan asumsi mereka terbatas] juga dapat membantu dalam memilih paling efisien .

A_{i}

$A_i$

i

$i$

i

$i$

A_{i}

$A_i$

f_{i}

$f_i$

— Xi'an

Saya belum memikirkannya, tapi tentu saja Anda benar, sendiri sangat informatif, karena mereka juga sama dengan jumlah iterasi yang diharapkan untuk benar-benar menghasilkan angka acak jika Anda tetap menggunakan satu seluruh. Jadi, Anda ingin memilih distribusi dengan terkecil untuk digunakan sepanjang waktu. Saya akan mengedit jawaban sehingga poin Anda tidak hilang dalam komentar.

A_{i}

$A_i$

i

$i$

A_{i}

$A_i$

— jbowman

Yaitu, dengan asumsi semua dinormalisasi dengan baik [untuk diintegrasikan ke satu], yang tidak harus merupakan kejadian standar.

f_{i}

$f_i$

— Xi'an