Di CLT, mengapa ?

10

Biarkan menjadi pengamatan independen dari distribusi yang memiliki rata-rata dan varians , ketika , maka $X_1,...,X_n$ $\mu$ $\sigma^2 < \infty$ $n \rightarrow \infty$

\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} \to N (0, 1) .

$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1).$

Mengapa ini menyiratkan bahwa

{\bar{X}}_{n} \sim N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) ?

$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)?$

probability central-limit-theorem

— mavavilj
sumber

Mungkin ini tidak ditekankan dengan cukup jelas di bawah ini, tetapi pernyataan secara matematis bermakna dan benar sementara pernyataan itu secara matematis tidak masuk akal, karenanya, seperti kata pepatah, bahkan tidak salah .

\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} \to N (0, 1)

$\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma} \rightarrow N(0,1)$

{\bar{X}}_{n} \sim N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$\bar{X}_n \sim N\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right)$

— Apakah

17

Penafsiran Anda sedikit salah. Theor Limit Limit Central (CLT) menyiratkan bahwa

{\bar{X}}_{n} \overset{sekitar}{\sim} N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) .

$\bar{X}_n \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).$

Ini karena CLT adalah hasil asimptotik, dan kami dalam praktiknya hanya berurusan dengan sampel terbatas. Namun, ketika ukuran sampel cukup besar, maka kami mengasumsikan bahwa hasil CLT berlaku dalam perkiraan, dan dengan demikian

\begin{aligned} \sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} & \overset{approx}{\sim} N (0, 1) \\ \sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ} . \frac{σ}{\sqrt{n}} & \overset{approx}{\sim} \frac{σ}{\sqrt{n}} N (0, 1) \\ {\bar{X}}_{n} - μ & \overset{approx}{\sim} N (0, \frac{σ^{2}}{n}) \\ {\bar{X}}_{n} - μ + μ & \overset{sekitar}{\sim} μ + N (0, \frac{σ^{2}}{n}) \\ {\bar{X}}_{n} & \overset{sekitar}{\sim} N (μ, \frac{σ^{2}}{n}) . \end{aligned}

$\begin{align*} \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N(0, 1)\\ \sqrt{n} \dfrac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma} . \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}} N \left( 0, 1 \right)\\ {\bar{X}_n - \mu} &\overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(0, \dfrac{\sigma^2}{n}\right)\\ \bar{X}_n - \mu + \mu & \overset{\mbox{approx}}{\sim}\mu + N \left(0, \frac{\sigma^2}{n} \right)\\ \bar{X}_n & \overset{\mbox{approx}}{\sim} N \left(\mu, \frac{\sigma^2}{n} \right).\\ \end{align*}$

Ini karena untuk variabel acak dan konstanta , (ini digunakan pada langkah kedua) dan , (ini digunakan pada langkah terakhir kedua). $X$ $a,b$ $\operatorname{Var}(aX) = a^2 \operatorname{Var}(X)$ $E(b + X) = b + E(X)$ $\operatorname{Var}(b + X) = \operatorname{Var}(X)$

Baca ini untuk penjelasan lebih lanjut tentang aljabar.

— Greenparker
sumber

Bisakah Anda mengklarifikasi "aljabar" apa yang Anda gunakan saat mengambil istilah dari LHS of ke RHS?

\sim

$\sim$

— mavavilj

Saya sudah mengklarifikasi aljabar. Sebagian besar menggunakan sifat varians dan harapan.

— Greenparker

Mengapa misalkan istilah kedua menjadi ?

N (μ, \frac{σ^{2}}{n})

$N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$

N (μ, μ + \frac{σ^{2}}{n})

$N(\mu, \mu+\frac{\sigma^2}{n})$

— mavavilj

3

Karena . Secara intuitif, menambahkan angka konstan ke variabel acak tidak mengubah variansnya.

V a r (a X + b) = a^{2} V a r (X)

$Var(aX + b) = a^2 Var(X)$

— Greenparker

10

Cara termudah untuk melihat ini adalah dengan melihat mean dan varians dari variabel acak . $\bar X_n$

Jadi, menyatakan bahwa mean adalah nol dan varians adalah satu. Oleh karena itu, kami memiliki rata-rata: $\mathcal{N}(0,1)$

E [\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ}] \approx 0

$E\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 0$ Menggunakan , di mana adalah konstanta, kita mendapatkan:

E [a \cdot x + b] = a \cdot E [x] + b

$E[a\cdot x+b]=a\cdot E[x]+b$

a, b

$a,b$

{\bar{X}}_{n} \approx μ

$\bar{X}_n\approx\mu$

Sekarang, menggunakan , di mana adalah konstanta, kita mendapatkan berikut untuk varians: $\operatorname{Var}[a\cdot x+b]=a^2\cdot \operatorname{Var}[x]=a^2\cdot \sigma_x^2$ $a,b$

Var [\sqrt{n} \frac{{\bar{X}}_{n} - μ}{σ}] \approx 1

$\operatorname{Var}\left[\sqrt{n}\frac{\bar{X}_n-\mu}{\sigma}\right]\approx 1$

Var [{\bar{X}}_{n}] \approx \frac{σ^{2}}{n}

$\operatorname{Var}\left[\bar{X}_n\right]\approx \frac{\sigma^2}{n}$

Sekarang, kita tahu mean dan varians dari , dan distribusi Gaussian (normal) dengan mean dan varians ini adalah $\bar X_n$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

Anda mungkin bertanya-tanya mengapa harus melalui semua aljabar ini? Mengapa tidak langsung membuktikan bahwa konvergen ke ? $\bar X_n$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$

Alasannya adalah bahwa dalam matematika sulit (tidak mungkin?) Untuk membuktikan konvergensi untuk mengubah hal-hal, yaitu sisi kanan operator konvergensi harus diperbaiki agar matematikawan menggunakan trik mereka untuk membuktikan pernyataan. The perubahan ekspresi dengan , yang merupakan masalah. Jadi, ahli matematika mengubah ekspresi sedemikian rupa, sehingga sisi kanan diperbaiki, misalnya adalah sisi kanan tetap yang bagus. $\rightarrow$ $\mathcal{N}(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$ $n$ $\mathcal{N}(0,1)$

— Aksakal
sumber

4

Itu tidak menyiratkan normalitas , kecuali sebagai perkiraan. Tetapi jika kita berpura-pura bahwa adalah standar normal maka kita memiliki hasil yang normal ketika normal . Salah satu cara untuk melihatnya adalah melalui fungsi pembangkit momen $\bar{X}_n$ $\sqrt{n} (\bar{X}_n - \mu) / \sigma$ $\tau Z + \mu \sim$ $(\mu, \tau^2)$ $Z \sim$ $(0, 1)$

\begin{aligned} {M.}_{τ Z + μ} (t) & = {M.}_{Z} (τ t) {M.}_{μ} (t) \\ = e^{t^{2} τ^{2} / 2} e^{t μ} \\ = e^{t^{2} τ^{2} / 2 + t μ} \end{aligned}

$\begin{align} M_{\tau Z + \mu}(t) &= M_Z(\tau t) M_\mu (t) \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2} e^{t \mu} \\ &= e^{t^2 \tau^2 / 2 + t \mu} \end{align}$

yang merupakan mgf normal $(\mu, \tau^2)$

— dsaxton
sumber

Mengapa fungsi pembangkit momen membuktikannya untuk distribusi?

— mavavilj

1

Ini adalah hasil dari probabilitas. Jika dua variabel acak memiliki fungsi menghasilkan momen yang sama maka mereka sama dalam distribusi.

— dsaxton