Namun pertanyaan teorema batas pusat lainnya

11

Biarkan menjadi urutan variabel acak Bernoulli independen dengan Setel Tunjukkan bahwa menyatu dalam distribusi ke variabel normal standar karena cenderung tak terhingga. $\{X_n:n\ge1\}$
$P {X_{k} = 1} = 1 - P {X_{k} = 0} = \frac{1}{k} .$ $P\{X_k=1\}=1-P\{X_k=0\}=\frac{1}{k}.$ $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} (X_{k} - \frac{1}{k}), B_{n}^{2} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{k - 1}{k^{2}}$ $S_n=\sum^{n}_{k=1}\left(X_k-\frac{1}{k}\right), \ B_n^2=\sum^{n}_{k=1}\frac{k-1}{k^2}$ $\frac{S_n}{B_n}$ $Z$ $n$

Upaya saya adalah menggunakan Lyapunov CLT, oleh karena itu kita perlu menunjukkan ada $\delta>0$ sedemikian rupa sehingga,

lim_{n \to \infty} \frac{1}{B_{n}^{2 + δ}} \sum_{k = 1}^{n} E [| X_{k} - \frac{1}{k} |^{2 + δ}] = 0.

$\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{B_n^{2+\delta}}\sum_{k=1}^{n}E[|X_k-\frac{1}{k}|^{2+\delta}]=0.$

Jadi atur $\delta=1$

\sum_{k = 1}^{n} E {| X_{k} - k^{- 1} |}^{3} = \sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{3}{k^{2}} + \frac{4}{k^{3}} - \frac{2}{k^{4}})

$\sum_{k=1}^{n}E\left|X_k-k^{-1}\right|^{3}=\sum_{k=1}^{n} \left(\frac{1}{k}-\frac{3}{k^2}+\frac{4}{k^3}-\frac{2}{k^4}\right)$ dan

B_{n}^{3} = (\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \frac{1}{k^{2}}) \sqrt{(\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} - \frac{1}{k^{2}})}

$B_n^3=\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{k^2} \right) \sqrt{\left( \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}-\frac{1}{k^2} \right)}$

Dengan mengevaluasi n besar di komputer itu menunjukkan bagaimana keduanya $\sum_{k=1}^{n}E|X_k-k^{-1}|^{3} \to \infty$ dan $B_n^3 \to \infty$ sebagai $n \to \infty$ . Tapi $B_n^3$ meningkat lebih cepat daripada $B_n^2$ jadi $\frac{\sum_{k=1}^{n}E|X_k-k^{-1}|^{3}}{B_n^3} \to 0$ . Dapatkah seseorang membantu saya membuktikan bahwa konvergensi ini berlaku?

probability convergence central-limit-theorem

— TiffanyButterfly
sumber

7

Ini adalah Contoh 27.3 Probabilitas dan Ukuran oleh Patrick Billingsley.

— Zhanxiong

10

Mungkin instruktif untuk mendemonstrasikan hasil ini dari prinsip pertama dan hasil dasar , mengeksploitasi properti fungsi penghasil kumulant (persis seperti dalam bukti standar dari Teorema Limit Pusat). Ini mengharuskan kita untuk memahami laju pertumbuhan bilangan harmonik umum untuk Laju pertumbuhan ini diketahui dan mudah diperoleh dengan membandingkannya dengan integral : mereka menyatu dengan dan sebaliknya menyimpang secara logaritma untuk .

H (n, s) = \sum_{k = 1}^{n} k^{- s}

$H(n,s)=\sum_{k=1}^n k^{-s}$

s = 1, 2, \dots .

$s=1, 2, \ldots.$

\int_{1}^{n} x^{- s} d x

$\int_1^n x^{-s}dx$

s > 1

$s \gt 1$

s = 1

$s=1$

Biarkan dan . Menurut definisi, fungsi penghasil kumulans (cgf) dari adalah $n \ge 2$ $1 \le k \le n$ $(X_k - 1/k)/B_n$

ψ_{k, n} (t) = \log E (\exp (\frac{X_{k} - 1 / k}{B_{n}} t)) = - \frac{t}{k B_{n}} + \log (1 + \frac{- 1 + \exp (t / B_{n})}{k}) .

$\psi_{k,n}(t) = \log\mathbb{E}\left(\exp\left(\frac{X_k - 1/k}{B_n}t\right)\right) = -\frac{t}{k B_n} + \log\left(1 + \frac{-1 + \exp(t/B_n)}{k}\right).$

Ekspansi seri sisi kanan, diperoleh dari ekspansi sekitar , berbentuk $\log(1+z)$ $z=0$

ψ_{k, n} (t) = \frac{(k - 1)}{2 k^{2} B_{n}^{2}} t^{2} + \frac{k^{2} - 3 k + 2}{6 k^{3} B_{n}^{3}} t^{3} + \dots + \frac{k^{j - 1} - \dots \pm (j - 1)!}{j! k^{j} B_{n}^{j}} t^{j} + \dots .

$\psi_{k,n}(t) = \frac{(k-1)}{2 k^2 B_n^2}t^2 + \frac{k^2 - 3k + 2}{6 k^3 B_n^3} t^3 + \cdots + \frac{k^{j-1} - \cdots \pm (j-1)!}{j! k^j B_n^j}t^j + \cdots.$

Pembilang dari pecahan adalah polinomial dalam dengan istilah terkemuka . Karena ekspansi log konvergen sepenuhnya untuk , ekspansi ini benar-benar konvergen ketika $k$ $k^{j-1}$ $\left|\frac{-1 + \exp(t/B_n)}{k}\right| \lt 1$

| \exp (t / B_{n}) - 1 | < k .

$\left|\exp(t/B_n) - 1\right| \lt k.$

(Dalam kasus ia menyatu di mana-mana.) Untuk tetap dan meningkatkan nilai , divergensi (jelas) menyiratkan domain konvergensi absolut tumbuh besar secara sewenang-wenang. Jadi, untuk tetap dan cukup besar , ekspansi ini konvergen secara absolut. $k=1$ $k$ $n$ $B_n$ $t$ $n$

Untuk cukup besar , maka, kita dapat menjumlahkan individu lebih dari istilah dengan istilah dalam pangkat untuk mendapatkan cgf dari , $n$ $\psi_{k,n}$ $k$ $t$ $S_n/B_n$

ψ_{n} (t) = \sum_{k = 1}^{n} ψ_{k, n} (t) = \frac{1}{2} t^{2} + \dots + \frac{1}{B_{n}^{j}} (\sum_{k = 1}^{n} (k^{- 1} - \dots \pm (j - 1)! k^{- j})) \frac{t^{j}}{j} + \dots .

$\psi_n(t) = \sum_{k=1}^n \psi_{k,n}(t) = \frac{1}{2}t^2 + \cdots + \frac{1}{B_n^j}\left(\sum_{k=1}^n \left(k^{-1} - \cdots \pm (j-1)!k^{-j}\right)\right)\frac{t^j}{j} + \cdots.$

Mengambil istilah dalam jumlah lebih dari satu pada satu waktu mengharuskan kita untuk mengevaluasi ekspresi yang proporsional $k$

b (s, j) = \frac{1}{B_{n}^{j}} \sum_{k = 1}^{n} k^{- s}

$b(s,j) = \frac{1}{B_n^j}\sum_{k=1}^n k^{-s}$

untuk dan . Menggunakan asimtotik dari nomor harmonik umum yang disebutkan dalam pendahuluan, itu mudah diikuti $j \ge 3$ $s=1, 2, \ldots, j$

B_{n}^{2} = H (n, 1) - H (n, 2) \sim \log (n)

$B_n^2 = H(n,1) - H(n,2) \sim \log(n)$

bahwa

b (1, j) \sim (\log (n))^{1 - j / 2} \to 0

$b(1,j) \sim (\log(n))^{1-j/2}\to 0$

dan (untuk ) $s \gt 1$

b (s, j) \sim (\log (n))^{- j / 2} \to 0

$b(s,j) \sim (\log(n))^{-j/2}\to 0$

saat tumbuh besar. Akibatnya semua istilah dalam perluasan luar konvergen ke nol, di mana konvergen ke untuk nilai . Karena konvergensi cgf menyiratkan konvergensi fungsi karakteristik, kami menyimpulkan dari Teorema Kontribusi Levy bahwa mendekati variabel acak yang cgf-nya adalah 2/2 : itu adalah variabel Normal standar, QED . $n$ $\psi_n(t)$ $t^2$ $\psi_n(t)$ $t^2/2$ $t$ $S_n/B_n$ $t^2/2$

Analisis ini mengungkap betapa rumitnya konvergensi: sedangkan dalam banyak versi dari Teorema Limit Sentral, koefisien adalah (untuk ), di sini koefisiennya adalah hanya : konvergensi jauh lebih lambat.Dalam hal ini urutan variabel standar "hanya nyaris" menjadi Normal. $t^j$ $O(n^{1-j/2})$ $j \ge 3$ $O(((\log(n))^{1-j/2})$

Kita dapat melihat konvergensi yang lambat ini dalam serangkaian simulasi. Histogram menampilkan iterasi independen untuk empat nilai . Kurva merah adalah grafik fungsi kerapatan normal standar untuk referensi visual. Meskipun jelas ada kecenderungan bertahap menuju normalitas, bahkan pada (di mana masih cukup besar) masih ada ketidaknormalan yang cukup besar, sebagaimana dibuktikan dalam skewness (sama dengan dalam sampel ini). (Tidak mengherankan kemiringan histogram ini dekat dengan , karena itulah istilah dalam cgf.) $10^5$ $n$ $n=1000$ $(\log(n))^{-1/2} \approx 0.38$ $0.35$ $(\log(n))^{-1/2}$ $t^3$

Ini Rkode untuk mereka yang ingin bereksperimen lebih lanjut.

set.seed(17)
par(mfrow=c(1,4))
n.iter <- 1e5
for(n in c(30, 100, 300, 1000)) {
  B.n <- sqrt(sum(rev((((1:n)-1) / (1:n)^2))))
  x <- matrix(rbinom(n*n.iter, 1, 1/(1:n)), nrow=n, byrow=FALSE)
  z <- colSums(x - 1/(1:n)) / B.n
  hist(z, main=paste("n =", n), freq=FALSE, ylim=c(0, 1/2))
  curve(dnorm(x), add=TRUE, col="Red", lwd=2)
}

— whuber
sumber

6

Anda sudah memiliki jawaban yang bagus. Jika Anda ingin melengkapi bukti Anda sendiri, Anda dapat berdebat sebagai berikut:

Karena bertemu untuk semua dan divergen untuk (di sini ), kita dapat menulis $\sum_{k=1}^n 1/k^i$ $i>1$ $i = 1$

\begin{aligned} S (n) := \sum_{k = 1}^{n} (\frac{1}{k} - \frac{3}{k^{2}} + \frac{4}{k^{3}} - \frac{3}{k^{4}}) = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} + O (1) . \end{aligned}

$\begin{align}S(n):=\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{k} - \frac{3}{k^2} + \frac{4}{k^3} - \frac{3}{k^4} \right) = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} + O(1). \end{align}$

Dengan argumen yang sama,

B_{n}^{2} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k} + O (1) .

$B^2_n = \sum_{k=1}^n\frac{1}{k} + O(1).$

Akibatnya, dan, dengan demikian, $S(n) / B_n^2 = O(1)$

S (n) / B_{n}^{3} = O (1) (B_{n}^{2})^{- 1 / 2} \to 0,

$S(n)/B_n^3 = O(1)(B_n^2)^{-1/2} \to 0,$

yang ingin kami tunjukkan.

— ekvall
sumber

2

Pertama, variabel acak Anda tidak terdistribusi secara identik jika distribusinya bergantung pada ;) $k$

Juga saya tidak akan menggunakan notasi Anda sebagai: $B_n$

huruf kapital biasanya disediakan untuk variabel acak.
itu hanya jumlah dari varians jadi saya akan menggunakan notasi yang melibatkan simbol untuk membuat ini jelas. $\sigma$

Kemudian mengenai pertanyaan saya tidak tahu apakah ini latihan atau penelitian dan alat apa yang Anda boleh gunakan. Jika Anda tidak mencoba untuk membuktikan kembali teorema yang dikenal, saya hanya akan mengatakan itu adalah teorema limit pusat untuk RV independen yang tidak terdistribusi secara seragam tetapi terikat dan menyebutnya sehari. Saya tidak memiliki sumber yang bagus, tetapi seharusnya tidak terlalu sulit untuk menemukannya, misalnya lihat di /mathpro/29508/is-there-a-central-limit-theorem- untuk-acak-non-identik-didistribusikan-acak .

Sunting: Buruk saya, tentu saja kondisi yang dibatasi secara seragam tidak cukup, Anda juga perlu

\sum_{k = 1}^{n} σ_{k}^{2} \to \infty

$\sum_{k=1}^n \sigma_k^2 \to \infty$

— Adrien
sumber